Kĩ năng phân tích thành nhân tử giải phương trình lượng giác

Kĩ năng phân tích thành nhân tử giải phương trình lượng giác
1) Các phép biến đổi lượng giác thành tích:
Nhóm tổng cùng loại:
$\begin{gathered}  \cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2} \hfill \\  \cos a - \cos b =- 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2} \hfill \\  \sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2} \hfill \\  \sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2} \hfill \\ \end{gathered}$
Nhóm nhân đôi, hạ bậc:
$\begin{gathered}  \sin 2a = 2\sin a.\cos a \hfill \\  \cos 2a = \left( {\cos a + \sin a} \right)\left( {\cos a - \sin a} \right) \hfill \\  1 \pm \sin 2a = {\left( {\sin a \pm \cos a} \right)^2} \hfill \\  1 + \cos 2a = 2{\cos ^2}a \hfill \\  1 - \cos 2a = 2{\sin ^2}a \hfill \\  {\sin ^2}a = 1 - {\cos ^2}a = \left( {1 - \cos a} \right)\left( {1 + \cos a} \right) \hfill \\  {\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = \left( {1 - \sin a} \right)\left( {1 + \sin a} \right) \hfill \\ \end{gathered}$
Nhóm nhân ba:
$\begin{gathered}  \sin 3a = 3\sin a - 4{\sin ^3}a = \sin a\left( {3 - 4{{\sin }^2}a} \right) = \sin a\left( {4{{\cos }^2}a - 1} \right) \hfill \\   = \sin a\left( {2\cos a - 1} \right)\left( {2\cos a + 1} \right) \hfill \\ \end{gathered}$
$\cos 3a = \cos a\left( {1 - 2\cos a} \right)\left( {1 + 2\cos a} \right)$
$\sin 3a \pm \cos 3a = \left( {\sin a \mp \cos a} \right)\left( {....} \right)$
$\begin{gathered}  \sin na = \sin a.\left( {......} \right) \hfill \\  \sin na = \cos a.\left( {...} \right)n\_chan \hfill \\  \cos na = \cos a\left( {....} \right)n\_le \hfill \\  \cos na = \left( {\cos a - \sin a} \right)\left( {\cos a + \sin a} \right).\left( {....} \right)n\_chan \hfill \\ \end{gathered}$
Tam thức bậc 2: $f\left( t \right) = a{t^2} + bt + c = a\left( {t - {t_1}} \right)\left( {t - {t_2}} \right)$
II. Luyện tập:
1) Giải phương trình:
a) $\sin 2x - \sqrt 3 \cos x = 0$
Nhớ sin2x có nhân tử là cosx, nên áp dụng công thức nhân đôi, ta có:
$\begin{gathered}  \sin 2x - \sqrt 3 \cos x = 0 \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \sqrt 3 \cos x = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \cos x = 0 \hfill \\  \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}$
b) $\sin 3x - 2\sin x = 0$
Nhớ sin3x ( sinnx) luôn chứa nhân tử là sin x, nên áp dụng công thức nhân 3:
$\begin{gathered}  pt \Leftrightarrow 3\sin x - 4{\sin ^3}x - 2\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x\left( {1 - 4{{\sin }^2}x} \right) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \sin x = 0 \hfill \\  1 - 4{\sin ^2}x = 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \sin x = 0 \hfill \\  \sin x =  \pm \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}$
c) $\sin 4x =  - 2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)$
Nhớ sin4x chứa cos2x, cos2x lại chứa nhân tử sinx+cosx, vậy ta có pt tích:
$\begin{gathered}  4\sin x\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right) =  - 2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right) \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \sin x + \cos x = 0 \hfill \\  4\sin x\cos x\left( {\cos x - \sin x} \right) =  - 2\sqrt 2 \left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}$
Với pt(*), đặt $\cos x - \sin x = t\left( {\left| t \right| \leqslant \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}$, khi đó (*) trở thành:
$2\left( {1 - {t^2}} \right)t =  - 2\sqrt 2  \Leftrightarrow t = \sqrt 2$
d) $\cos x + {\cos ^2}x = {\sin ^3}x$
Nhớ ${\sin ^3}x$ chứa ${\sin ^2}x \to 1 + \cos x$, nên đưa về pt tích:
$\begin{gathered}  pt \Leftrightarrow \cos x\left( {1 + \cos x} \right) = \sin x\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  1 + \cos x = 0 \hfill \\  \cos x - \sin x + \sin x\cos x = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}$
e) $\cos 2x + \sin 5x + \sin 3x =  - 1$
Nhớ 1+cos2x là có công thức lượng giác, vì thế ta nhóm:
$\begin{gathered}  pt \Leftrightarrow \left( {1 + \cos 2x} \right) + \sin 5x + \sin 3x = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + 2\sin 4x.\cos x = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 2\cos x\left( {1 + \sin 4x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \cos x = 0 \hfill \\  \sin 4x =  - 1 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}$
f) $\cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) + \sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0$
Rõ ràng $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ là con số nhạy cảm đối với sin và cos, do đó ta có:
$\begin{gathered}  pt \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin 2x + \sin \frac{\pi }{3} = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \hfill \\  \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}$
h) $1 + \sin x + \cos x + \sin 2x + \cos 2x = 0$
Nhớ rằng 1+sin2x và cos2x đều chứa nhân tử ( sinx+cosx)
u) $9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x - 6 = 0$
Nhận thấy pt đưa về pt bậc hai đối với sinx và cosx. Do đó ta
Nghĩ tới việc phân tích nhân tử đa thức bậc hai ( 2 ẩn ), coi là tam thức bậc hai một ẩn, tính delta nếu dạng bình phương thì phân tích đẹp. Tuy nhiên khó ở chỗ cos2x chuyển về $m{\sin ^2}x + n{\cos ^2}x$, với m, n là bao nhiêu cho Delta đẹp đây?Ta có:
 $9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x - 8 = 0$
Dùng casio, solve ta có nghiệm $x = \frac{\pi }{2}$, nên nhân tử sẽ là $\left( {\sin x - 1} \right)$
Ta biến đổi như sau:
$\begin{gathered}  9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x - 8 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow  - 6\cos x\left( {\sin x - 1} \right) + \left( {9\sin x - 2{{\sin }^2}x - 7} \right) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow  - 6\cos x\left( {\sin x - 1} \right) + \left( {\sin x - 1} \right)\left( { - 2\sin x + 7} \right) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \sin x = 1 \hfill \\   - 6\cos x - 2\sin x + 7 = 0\left( {vn} \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}$
Bài tập:
$\begin{gathered}  1)1 + \sin x + \cos 3x = \cos x + \sin 2x + \cos 2x \hfill \\  2)\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x \hfill \\  3)\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\  4)\cos 2x - 3\sin 2x + 5\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{{9\pi }}{4}} \right) = 3 \hfill \\  5)\frac{{{{\tan }^2}x + \tan x}}{{{{\tan }^2}x + 1}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$
$\begin{gathered}  7)\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x \hfill \\  8)2{\sin ^3}x - \cos 2x + \cos x = 0 \hfill \\  9)2\sin 3x - \frac{1}{{\sin x}} = 2\cos 3x + \frac{1}{{\cos x}} \hfill \\  10)\frac{{{{\cos }^2}x\left( {\cos x - 1} \right)}}{{\sin x + \cos x}} = 2\left( {1 + \sin x} \right) \hfill \\ \end{gathered}$
$\begin{gathered}  2\sqrt 2 \cos 2x + \sin 2x.\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) - 4\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \hfill \\  12)2{\sin ^2}x\left( {\sin x + \cos x} \right) = \sqrt 2 \sin 2x - \frac{1}{{\sqrt 2 \sin 4x}} \hfill \\  13){\cos ^3}x + {\sin ^3}x = \sin x - \cos x \hfill \\  14){\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin 2x + \sin x + \cos x \hfill \\  15){\cos ^3}x + {\cos ^2}x + 2\sin x - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered}$
$\begin{gathered}  16)\sin x + {\sin ^2}x + {\cos ^3}x = 0 \hfill \\  17)2{\sin ^3}x - \sin x = 2{\cos ^3}x - \cos x + \cos 2x \hfill \\  18)4{\cos ^3}x + 3\sqrt 2 \sin 2x = 8\cos x \hfill \\  19)\sin x + {\sin ^2}x + {\sin ^3}x + {\sin ^4}x = \cos x + {\cos ^2}x + {\cos ^3}x + {\cos ^4}x \hfill \\  20){\cos ^4}\frac{x}{2} - {\sin ^4}\frac{x}{2} = \sin 2x \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered}  21)\left( {\sin x + 3} \right){\sin ^4}\frac{x}{2} - \left( {\sin x + 3} \right){\sin ^2}\frac{x}{2} + 1 = 0 \hfill \\  22)2\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}} \hfill \\  23)\frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\sin 2x}} = \frac{2}{{\sin 4x}} \hfill \\  24)\frac{{\sin 5x}}{5} = \frac{{\sin 3x}}{3} \hfill \\  25)2\cos 2x - 8\cos x + 7 = \frac{1}{{\cos x}} \hfill \\ \end{gathered}$
$\begin{gathered}  26)\frac{{{{\cos }^2}x\left( {1 + \cot x} \right) - 3}}{{\sin x - \cos x}} = 3\cos x \hfill \\  27){\sin ^3}x\left( {1 - \cot x} \right) + {\cos ^3}x\left( {1 - \tan x} \right) = \frac{3}{2}\cos 2x \hfill \\  28)\cos 2x + 3\sin 2x + 5\sin x - 3\cos x = 3 \hfill \\  29)\sin 4x - \cos 4x = 1 - 4\left( {\sin x - \cos x} \right) \hfill \\  30){\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 2\left( {{{\sin }^8}x + {{\cos }^8}x} \right) \hfill \\ \end{gathered}$