Kỉ thuật phân tích nghiệm kép:

. Kỉ thuật phân tích nghiệm kép:

Cơ sở lý thuyết: pt $f\left( x \right) = 0$có nghiệm kép x=a khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) = 0\\f'\left( a \right) = 0\\f''\left( a \right) \ne 0\end{array} \right.$. Khi đó ta phân tích pt về dạng: ${\left( {x - a} \right)^2}.g\left( x \right) = 0$.

VD1: Giải pt: $8\left( {3{x^2} + x + 4} \right)\sqrt {3{x^2} + x}  = 9{x^4} + 6{x^3} + 76{x^2} + 18x + 19$

Phân tích: Soạn pt, bấm máy tính SHIFT SOLVE, ra được x=1, Bấm $\frac{d}{{dx}}\left( {} \right)\left| \begin{array}{l}\\x = 1\end{array} \right.$,được KQ =0. Vậy pt có nghiệm kép x=1.

PT có căn nên ta liên hợp ,  ép tích: $\begin{array}{l}g\left( x \right) = \sqrt {3{x^2} + x}  + ax + b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( 1 \right) = 0\\g'\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + a + b = 0\\\frac{{6 + 1}}{{2\sqrt {3 + 1} }} + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{7}{4}\\b =  - \frac{1}{4}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sqrt {3{x^2} + x}  - \frac{{7x + 1}}{4} \sim 4\sqrt {3{x^2} + x}  - 7x - 1\end{array}$

Vậy ta có: \[\begin{array}{l}2\left( {3{x^2} + x + 4} \right)\left( {4\sqrt {3{x^2} + x}  - 7x - 1} \right) = 9{x^4} + 6{x^3} + 76{x^2} + 18x + 19 + 2\left( {3{x^2} + x + 4} \right)\left( { - 7x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow  - \frac{{2\left( {3{x^2} + x + 4} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt {3{x^2} + x}  + 7x + 1}} = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {9{x^2} - 18x + 11} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\ - \frac{{2\left( {3{x^2} + x + 4} \right)}}{{4\sqrt {3{x^2} + x}  + 7x + 1}} = 9{x^2} - 18x + 11\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\]

Dễ thấy (*) vô nghiệm vì hai vế trai dấu.

Thực hành: Giải phương trình $36{x^2} + 63x - 18 = 48x\sqrt {3x - 1}  + 4\sqrt {9{x^2} + 3x - 2} $