Như
ta đã biết, việc xử lý từng phương trình độc lập trong hệ khác dễ dàng
nhở CASIO, dễ suy đoán, vì thế chắc xu thế mới sẽ là kết nối hai pt lại để được
1 pt mới có thể xử lý đuợc ( đưa về tích, ẩn phụ, đẳng cấp, hàm số,….), như thế
máy tính CASIO sẽ không giúp được mà cần sự nhanh trí, nhạy bén phát hiện được
mối liên quan giữa hai pt của hệ. UCT cũng là một dạng của kết nối, tuy nhiên
nó mang tính kĩ thuật, sẽ khó gặp trong đề thi ĐH. Kết nối là pp tư duy rộng
hơn, hay hơn , nó là thước đo trí tuệ, do đó sẽ phân loại tốt hs hơn. Giống như
các câu hỏi IQ, không phải luyện nhiều là được, mà là luyện tập có phân tích
sâu về kết nối.
VD1: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - y} + \sqrt {x + y} = 2x - y - 2\\2\sqrt {{x^2} - {y^2}} + \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x +
y} \right) - 12{x^2} - 10{y^2} + 5xy + 2x - 3y - 13 = 0\end{array} \right.$
Từ pt1,bp hai vế ta có: $2\sqrt {{x^2} - {y^2}} = {\left( {2x - y - 2} \right)^2} - 2x$,
thay vào pt2 ta có:${\left( {2x - y - 2}
\right)^2} - 2x + \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right) -
12{x^2} - 10{y^2} + 5xy + 2x - 3y - 13 = 0$(3)
Đến đây CASIO phát hiện quan hệ $\left| \!{\nderline {\, {x = 9 - y} \,}} \right. $, do đó phân
tích :
$\left( 3
\right) \Leftrightarrow \left( {x + y - 9} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + x +
1} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 9 - x$$$
Thay vào (1): $\sqrt {2x - 9}
= 3x - 14 \Leftrightarrow x = 5 \Rightarrow y = 4$. Vậy hệ có
nghiệm $\left( {x = 5;y = 4} \right)$
VD2: Giải hệ phương trình: \[\left\{
\begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt {2x - 1} }} + \frac{4}{{\sqrt {x + y} + \sqrt {x - y} }} = \frac{2}{{\sqrt {4y -
3x} }}\\9\sqrt {{x^2} - {y^2}} + 457x -
576y - 8 = 0\end{array} \right.\]
Cũng như ví dụ 1, ở hai pt của hệ có mối
liên quan giữa các căn thức: $\sqrt {x + y}
,\sqrt {x - y} ,\sqrt {{x^2} - {y^2}} $
Ta biến đổi pt1: \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt
{2x - 1} }} + \frac{4}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x + y} + \sqrt {x - y} } \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt
{4y - 3x} }}\]
\[
\Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt {2x - 1} }} + \frac{4}{{\sqrt {2x + 2\sqrt
{{x^2} - {y^2}} } }} = \frac{2}{{\sqrt {4y - 3x} }}\]. Thế pt2 lên rút gọn
ta được:
\[\frac{3}{{\sqrt
{2x - 1} }} + \frac{3}{{\sqrt { - 56x + 72y + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {4y - 3x}
}}\](*)
Áp dụng bdt: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{\sqrt
{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} }}$, ta được: \[\frac{3}{{\sqrt {2x - 1} }} + \frac{3}{{\sqrt { -
56x + 72y + 1} }} \ge \frac{{12}}{{\sqrt {2\left( {2x - 1} \right) + 2\left( {
- 56x + 72y + 1} \right)} }} = \frac{2}{{\sqrt {4y - 3x} }}\]
Do đó (*) $
\Leftrightarrow 2x - 1 = - 56x + 72y +
1$
Từ đó giải được ( x=5; y=4)
VD3: $\left\{
\begin{array}{l}2x\sqrt {{x^2} + 1} =
2\left( {y + 1} \right)\left( {\sqrt 5 +
\sqrt {2 + x} } \right)\\{y^2} + 2y = 5 + x + 2\sqrt {5\left( {2 + x} \right)} \end{array}
\right.$
Ở hai pt có mối kết nối là $\sqrt {2 + x} $, tuy nhiên nếu thay $\sqrt {2 + x} $ ở pt2 lên pt1 ta ko được gì cả.
Ta biến đổi pt2 một chút: $\begin{array}{l}{y^2} + 2y = 5 + x + 2\sqrt {5\left(
{2 + x} \right)} \Leftrightarrow {y^2} +
2y + 2 = 2 + x + 2\sqrt {5\left( {2 + x} \right)} + 5 \Leftrightarrow {y^2} + 2y + 2 = {\left(
{\sqrt 5 + \sqrt {2 + x} } \right)^2}\\
\Leftrightarrow \sqrt {{y^2} + 2y + 2} =
\sqrt 5 + \sqrt {2 + x} \end{array}$
Bây giờ thế lên pt1 ta được dạng ptx,y độc
lập :$2x\sqrt {{x^2} + 1} = 2\left( {y + 1} \right)\sqrt {{y^2} + y +
2} $
Xét hàm ta được $x = y + 1$, thay vào pt2, giải được: $\left( {x = -
2;y = - 3} \right)$.
VD4: $\left\{
\begin{array}{l}\sqrt {2x + y + 1} -
\sqrt {x - y + 1} = 3x - 2y\\{x^3} -
3x{y^2} + 2{y^3} + \left( {3x - 2y} \right)\sqrt {5 - x - 4y} = 0\end{array} \right.$
Giữa các căn ko có kết nối gì, chỉ có giữa
hai pt có $\left( {3x - 2y} \right)$
chung.
Chú y bt ngoài căn dạng đẳng cấp nên phân
tích được: ${x^3} - 3x{y^2} + 2{y^3} = \left(
{x + 2y} \right){\left( {x - y} \right)^2}$
Hiệu bt trong hai căn trên là $\left( {x + 2y} \right)$. Ta kết nối như sau:
Từ pt1, liên hợp ta có: \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{x +
2y}}{{\sqrt {2x + y + 1} + \sqrt {x - y
+ 1} }} = 3x - 2y \Rightarrow \left( {x + 2y} \right)\left( {3x - 2y} \right)
\ge 0\]
Mặt khác pt2 $ \Leftrightarrow \left( {x + 2y} \right){\left( {x -
y} \right)^2} + \left( {3x - 2y} \right)\sqrt {5 - x - 4y} = 0$,
từ
đó ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x -
y} \right)^2} = 0\\\sqrt {5 - x - 4y} =
0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1$
VD5: $\left\{
\begin{array}{l}\left( {2{y^2} + y\sqrt {3{y^2} - 1} + 1} \right)x - \left( {x + 1} \right)\sqrt
{4x + 1} = 0\\4{x^2} - 4xy + 1 - 2{y^2}
= 0\end{array} \right.$
Ta nhận thấy, ở pt1 có $\sqrt {3{y^2} - 1} $, trong đó, pt dưới có ${\Delta _x} = 3{y^2} - 1$, đó là chìa khóa kết
nối hai pt lại…. Điều này dành cho các bạn suy nghĩ nhé .
1) Bài tập luyện tập:
2)
$\left\{
\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + 2y = 5\\\sqrt { - 4{y^2} - 8y + 21} + \sqrt { - {x^2} - x + 6} = 5\end{array} \right.$
3)
$\left\{
\begin{array}{l}\sqrt {3x} \left( {1 + \frac{1}{{x + y}}} \right) = 2\\\sqrt
{7y} \left( {1 - \frac{1}{{x + y}}} \right) = 4\sqrt 2 \end{array} \right.$
4)
$\left\{
\begin{array}{l}\sqrt {x + \frac{1}{y}}
+ \sqrt {x + y - 3} = 3\\\sqrt
{{x^2} - 8x + 15} + x + y = 4\end{array}
\right.$
5)
$\left\{
\begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} + 4x + 4 = 3\sqrt[3]{{3x + 1}} + \sqrt[3]{{3y +
1}}\\{y^3} + 3{y^2} + 3y = 3x\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}{x^2}
+ xy + x + 3 = 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} + 3\left( {y + 1} \right) +
2\left( {xy - \sqrt {{x^2}y + 2y} } \right) = 0\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}{x^3}
- {x^2}y = {x^2} - x + y + 1\\{x^3} - 9{y^2} + 6\left( {x - 3y} \right) - 15 =
3\sqrt[3]{{6{x^2} + 2}}\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt
{2x - y} - \sqrt {x + y - 1} = x\\7{x^3} - 19{x^2}y + {x^2} + 17x{y^2} -
2xy + 3x - 5{y^3} + {y^2} = 0\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}x +
\sqrt {{x^2} - 2x + 5} = 3y + \sqrt
{{y^2} + 4} \\{x^2} - {y^2} - 3x + 3y + 1 = 0\end{array} \right.$
No comments:
Post a Comment