Hàm số đối lập

VD1: Giải hệ: \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {x^2} + 2xy + 3x - 2\left( {y + 1} \right)\sqrt {2y - 1}  = {y^2}\\{x^2}y + {x^2} - 4xy + 2x + 2{y^2} - 3y + 1 = 0\end{array} \right.\\Vo - Trong - Tri - 105\end{array}\]

Giải: pt1 dạng hàm số ko hoàn toàn:

 \[{x^3} + 3x - 2\left( {y + 1} \right)\sqrt {2y - 1}  = {\left( {x - y} \right)^2} \Leftrightarrow f\left( x \right) - f\left( {\sqrt {2y - 1} } \right) = {\left( {x - y} \right)^2}\]

Do f đồng biến, vp ko âm nên ta có: $f\left( x \right) - f\left( {\sqrt {2y - 1} } \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \sqrt {2y - 1}  \Leftrightarrow {x^2} - 2y + 1 \ge 0$(*)

Bây giờ xoay sở pt2 vế dạng chứa bt(*):

(Lấy VP2 chia cho bt (*) theo dạng đa thức ấn x, ta đươc; \[\left( {{x^2} - 2y + 1} \right)y + {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} = 0\]

Mà $y \ge \frac{1}{2} \Rightarrow {x^2} - 2y + 1 \le 0(**)$. Từ (*) và (**) ta được x=y=1.

VD2: $\left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {{x^2} + 1}  = \sqrt {2 - y}  + \sqrt {3 - y}  + \sqrt {y - 1} \\{x^3} + 3{x^2} + 5x = \left( {4 + 2x - y} \right)\sqrt {3 + 2x - y}  - 2\end{array} \right.\left( {Vo - Trong - Tri - 106} \right)$

Giải:  Cả hai pt đều dạng hàm số , tuy nhiên ko hoàn toán.

Từ pt1, do $\sqrt {y - 1}  \ge 0 \Rightarrow x \ge \sqrt {2 - y}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} + y \ge 2\end{array} \right.\left( * \right)$

Từ pt2, hàm số : $f\left( {x + 1} \right) - f\left( {\sqrt {3 + 2x - y} } \right) =  - x \le 0 \Rightarrow x + 1 \le \sqrt {3 + 2x - y}  \Rightarrow {x^2} + y \le 2\left( {**} \right)$

Từ (*) và (*) ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 2\\\sqrt {y - 1}  = 0\\ - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow vn$.

VD3: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {y + 2} \right)\left( {4\sqrt {2x - 1}  + 3} \right) = \left( {\sqrt {2x - 1}  + 2} \right)\left( {3y + xy + 2x + 1} \right)\\8{x^3} + 5x = {y^3} + 3{y^2} + 5y + 4\end{array} \right.\]

Cái này tự làm nhé !

Các bạn chia sẻ lên fb cho bạn bè cùng xem nhé !