Phương pháp hàm số không hoàn toàn

Nếu như pp hàm số, ta tìm hàm đặc trưng f(t) để biến đổi một pt ( 1 ẩn hay hai ẩn ) về dạng  $f\left( a \right) = f\left( b \right)$, chứng minh hàm f đơn điệu  trên một khoảng chứa a,b thì ta có a=b.

Tuy nhiên thực tế có khi ta ép về dạng hs, nhưng vẫn “thừa” một biểu thức. Nghĩa là pt có dạng: $m\left[ {f\left( a \right) - f\left( b \right)} \right] + n\left[ {g\left( a \right) - g\left( b \right)} \right] = 0$ ( với $m > 0,n > 0$ ) và hàm f và g đều đơn điệu cùng chiều, thì ta vẫn có a=b.

Thật vậy: Giả sử f và  g cùng đổng biến, nếu a<b thì $\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) < f\left( b \right)\\f\left( a \right) < g\left( b \right)\end{array} \right. \Rightarrow m\left[ {f\left( a \right) - f\left( b \right)} \right] + n\left[ {g\left( a \right) - g\left( b \right)} \right] < 0$ ( pt ko thỏa mãn ), tương tự a>b cũng không thỏa mãn. Vậy chỉ có a=b.

Trường hợp đơn  giản nhất là : $m\left[ {f\left( a \right) - f\left( b \right)} \right] + n\left[ {a - b} \right] = 0$.

VD1: Giải bất pt: $9{x^3} - 11{x^2} + 10x - 7 \le \sqrt[3]{{4 - 3x}}$

Nhận thấy số 9 cho ta thấy thừa đi ${x^3}$, ta làm xuất hiện hàm đặc trưng như sau:

Bên trái có mũ 3, bên phải không có dạng bp của căn. Do đó hàm đặc trưng ( nếu có ) là $f\left( t \right) = {t^3} + t$

Ta ép hàm:

$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^3} + \left( {2x - 1} \right) + {x^3} + {x^2} - x - 1 \le \left( {4 - 3x} \right) + \sqrt[3]{{4 - 3x}}\\ \Leftrightarrow f\left( {2x - 1} \right) - f\left( {\sqrt[3]{{4 - 3x}}} \right) + \left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\end{array}$

Dễ dàng c/m hàm f đồng biến.

Chú ý hàm số : $g\left( x \right) = 2x - 1 - \sqrt[3]{{4 - 3x}}$ đồng biến, nhận giá trị 0 khi x=1

+Nếu x<1: thì $g\left( 1 \right) \le 0 \Rightarrow 2x - 1 \le \sqrt[3]{{4 - 3x}} \Rightarrow f\left( {2x - 1} \right) - f\left( {\sqrt[3]{{4 - 3x}}} \right) \le 0$

Và  do đó hi$f\left( {2x - 1} \right) - f\left( {\sqrt[3]{{4 - 3x}}} \right) + \left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} \le 0$ ( hay bpt nhận $x \le 1$ là nghiệm )

+Nếu x>1: Rõ ràng bđt đổi chiều, do đó bpt ko thỏa mãn. Tóm lại nghiệm bpt là $x \le 1$

VD2: \[{x^6} + {x^4} = \left( {{x^3} + {x^2} + 2x - 1 - x\sqrt {2x - 1} } \right)\sqrt {2x - 1} \]

Giải:

\[\begin{array}{l}{x^6} + {x^4} = \left( {{x^3} + {x^2} + 2x - 1 - x\sqrt {2x - 1} } \right)\sqrt {2x - 1} \\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + x + {x^2} - \sqrt {2x - 1}  = \frac{{{{\sqrt {2x - 1} }^3} - x{{\sqrt {2x - 1} }^2} + {x^2}\sqrt {2x - 1} }}{{{x^3}}}\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + x + x\left( {x - \frac{{\sqrt {2x - 1} }}{x}} \right) = {\left( {\frac{{\sqrt {2x - 1} }}{x}} \right)^3} - {\left( {\frac{{\sqrt {2x - 1} }}{x}} \right)^2} + \left( {\frac{{\sqrt {2x - 1} }}{x}} \right)\end{array}\]

Với  đk : $x \ge \frac{1}{2}$, hàm số $f\left( t \right) = {t^3} - {t^2} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} - 2t + 1 > 0$ hàm số đổng biến.

Mà pt trên có dạng: $f\left( a \right) + x\left( {a - b} \right) = f\left( b \right) \Leftrightarrow a = b$…..

VD3: Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {2xy - 1} \right)\left( {4{x^2}{y^2} - 4xy + x + y + 2} \right) = 2\left( {x + y} \right)\sqrt {x + y - 1} \\4{x^2}{y^2} - x - y = 3\sqrt {x + y - 1}  - 1\end{array} \right.$

Giải:   PT1  tương đương

$\begin{array}{l}\left( {2xy - 1} \right)\left( {4{x^2}{y^2} - 4xy + 1 + x + y + 1} \right) = 2\left( {x + y} \right)\sqrt {x + y - 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {2xy - 1} \right)^3} + \left( {2xy - 1} \right) + \left( {x + y} \right)\left( {2xy - 1} \right) = 2\left( {x + y} \right)\sqrt {x + y - 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {2xy - 1} \right)^3} + \left( {2xy - 1} \right) + \left( {x + y} \right)\left( {2xy - 1 - \sqrt {x + y - 1} } \right) = \left( {x + y - 1 + 1} \right)\sqrt {x + y - 1} \\ \Leftrightarrow f\left( a \right) + \left( {x + y} \right)\left( {a - b} \right) = f\left( b \right)\\ \Leftrightarrow a = b\\ \Leftrightarrow 2xy - 1 = \sqrt {x + y - 1}  \Rightarrow 2xy = 1 + \sqrt {x + y - 1} \end{array}$

Thay vào pt2 ta có: ${\left( {1 + \sqrt {x + y - 1} } \right)^2} - x - y = 3\sqrt {x + y - 1}  - 1 \Leftrightarrow y = 2 - x$

Thay vào ta lại có: $2x\left( {2 - x} \right) - 1 = 1 \Leftrightarrow  - 2{x^2} + 4x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = y = 1$

Bài tập tương tự:

$2{x^3} - 13{x^2} + 31x - 41 = \left( {2{x^2} - 8x + 3 + \left( {4 - x} \right)\sqrt[3]{{5 - x}}} \right)\sqrt[3]{{5 - x}}$

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {4{x^2} + 1} \right)x + \left( {4{x^2} + 3y - 8} \right)\sqrt {5 - 2y}  = 0\\\sqrt {5 - 2y}  + \sqrt {y + \frac{1}{2}}  = 3x\end{array} \right.$

$\left( {{x^3} - x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {{x^3} - 3x} \right)\sqrt[3]{{2x - 1}} = 0$

\[3x - 3 + \left( {\frac{{2{x^2} - 8x + 1}}{{2{x^2} - 7x + 3}}} \right)\sqrt[3]{{2x - 1}} = \left( {\frac{{{x^2} - 6x + 10}}{{3 - x}}} \right)\sqrt {2 - x} \]

\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {54 - 6x + y} \right)\sqrt {10 - x}  + \left( { - x + 6y - 47} \right)\sqrt {9 - y}  = 0\\\sqrt {2x - y + 6}  + {x^2} = \sqrt { - 2x + y + 11}  + 2x + 66\end{array} \right.\]

$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 2{x^2} - 5 + 2x\sqrt {{x^2} + 1}  = \left( {y + 1} \right)\left( {{x^2} + 2 + 2\sqrt {{y^2} + 2y + 2} } \right)\\{x^2} + 2{y^2} = 2x - 4y + 3\end{array} \right.$

$\sqrt {2x + 1}  + \sqrt[4]{{2x - 1}} - {x^2} + 4x - 2 = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {{x^2} - 2x + 3} $

-------còn nữa----