Hàm số ở đạo hàm

VD4: Giải phương trình: \[15{x^4} + 30{x^2} - 13 = 8\left( {6{x^2} - x - 1} \right)\sqrt {2x - 1} \]

Giải: Xét hàm số: \[f\left( x \right) = 15{x^4} + 30{x^2} - 13 - 8\left( {6{x^2} - x - 1} \right)\sqrt {2x - 1} ,x \ge \frac{1}{2}\], có:

$f'\left( x \right) = 60\left( {{x^3} + x - 2x\sqrt {2x - 1} } \right) = 60\left( {g\left( x \right) - g\left( {\sqrt {2x - 2} } \right)} \right)$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow g\left( x \right) = g\left( {\sqrt {2x - 1} } \right) \Leftrightarrow x = \sqrt {2x - 1}  \Leftrightarrow x = 1$

Lập bảng biến thiên ta thấy: $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Tóm lại: Đây là dạng pt mà đạo hàm có dạng pt hàm số quen thuộc. Lập bảng, ta xác định được nghiệm của pt dó.

VD5: Giải bất pt $\sqrt[4]{{{{\left( {3 - 2x} \right)}^3}}} + \sqrt[4]{{{{\left( {2x - 1} \right)}^3}}} + \sqrt {7 - 3x}  + \sqrt {3x + 1}  \ge 6$

Giải: Xét hàm số $f\left( x \right) = \sqrt[4]{{{{\left( {3 - 2x} \right)}^3}}} + \sqrt[4]{{{{\left( {2x - 1} \right)}^3}}} + \sqrt {7 - 3x}  + \sqrt {3x + 1}  - 6$

$f'\left( x \right) = \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{2x - 1}}}} + \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }} - \frac{1}{{\sqrt[4]{{3 - 2x}}}} - \frac{1}{{\sqrt {7 - 3x} }}} \right) = \frac{2}{3}\left[ {g\left( x \right) - g\left( {2 - x} \right)} \right]$

Với $g\left( t \right) = \frac{1}{{\sqrt[4]{{2t - 1}}}} + \frac{1}{{\sqrt {3t + 1} }}$ đồng biến trên $\left[ {\frac{1}{2};\frac{7}{3}} \right]$.

Do đó $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2 - x \Leftrightarrow x = 1$

Lập bảng biến thiên hàm số f(x) ta sẽ được nghiệm bpt.