Chứng minh bài toán hình học bằng phương pháp véc tơ

Buổi 4: Chứng minh bài toán hình học bằng phương pháp véc tơ

-Chọn 2 véc tơ ( ko cùng phương ) làm hai véc tơ cơ sở

-Biểu diễn các véc tơ liên quan qua hai véc tơ cơ sở

-Chứng minh các tính chất hình học bằng các phép tính qua véc tơ cơ sở

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD. M và N là trung điểm CD và CB. Chứng minh: $AM \bot DN$

Giải: Chọn hai véc tơ cơ sở là $\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b  = \overrightarrow {AD}  \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0,\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = AB = m$.

Ta có: $\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DM}  = \overrightarrow b  + \frac{1}{2}\overrightarrow a$, $\overrightarrow {DN}  = \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow a  - \frac{1}{2}\overrightarrow b$

Để c/m vuông góc , ta chứng minh tích vô hướng của hai véc tơ bằng 0.

Ta có: $\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DN}  = \left( {\overrightarrow b  + \frac{1}{2}\overrightarrow a } \right)\left( {\overrightarrow a  - \frac{1}{2}\overrightarrow b } \right) = \overrightarrow b .\overrightarrow a  - \frac{1}{2}{\overrightarrow b ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow a ^2} - \frac{1}{4}\overrightarrow a .\overrightarrow b \\ = 0 - \frac{1}{2}{m^2} + \frac{1}{2}{m^2} - 0 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow {DN}  \Rightarrow AM \bot DN\left( {dpcm} \right)\end{array}$

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. D là trung điểm AC và K, E là tâm đường tròn ng tiếp tam giác ABC và trọng tâm tam giác ABD. Chứng minh: $KE \bot BD$.

Giải: Gọi H là trung điểm BC, chọn hai véc tơ cơ sở là $\overrightarrow a  = \overrightarrow {HC} ,\overrightarrow b  = \overrightarrow {HA}$

Ta có: $\begin{array}{l}\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BH}  + \overrightarrow {HA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \\ = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HC} } \right) = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \frac{1}{2}\left( { - \overrightarrow b  + \overrightarrow a } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow a  + \frac{1}{2}\overrightarrow b \end{array}$

Ta có:

 $\begin{array}{l}\Delta AKD \sim \Delta ACH \Rightarrow \frac{{AK}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AH}}\\ \Rightarrow AK = AC.\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{1}{2}.\frac{{A{C^2}}}{{AH}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2b}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2{b^2}}}.HA \Rightarrow \overrightarrow {AK}  =  - \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2{b^2}}}\overrightarrow b \end{array}$

Vậy: $\overrightarrow {KE}  = \overrightarrow {KD}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow a  = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2{b^2}}}.\overrightarrow b  + \frac{1}{2}\left( { - \overrightarrow b  + \overrightarrow a } \right) - \frac{2}{3}\overrightarrow a$$=  - \frac{1}{6}\overrightarrow a  + \left( {\frac{{{a^2}}}{{2{b^2}}}} \right)\overrightarrow b$

Ta có: $\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {KE}  = \left( {\frac{3}{2}\overrightarrow a  + \frac{1}{2}\overrightarrow b } \right)\left( { - \frac{1}{6}\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{2{b^2}}}.\overrightarrow b } \right) =  - \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{2}.\frac{{{a^2}}}{{2{b^2}}}{b^2} = 0 \Rightarrow BD \bot KE\left( {dpcm} \right)$

Ví dụ 3:  Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD, lấy M, N lần lượt là trung điểm các cạnh HB, CD. Chứng minh rằng: $AM \bot MN$.

Giải: Chọn hai véc tơ cơ sở là $\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b  = \overrightarrow {AD}$, độ dài tương ứng của chúng là a, b.

Để biểu diễn các véc tơ $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {MN}$qua hai véc tơ cơ sở, ta cần biểu diễn véc tơ $\overrightarrow {AH}$trước. Ta có: $\begin{array}{l}\frac{{A{D^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{DH.DB}}{{BH.DB}} = \frac{{DH}}{{BH}} \Rightarrow \frac{{DH}}{{BH}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\\ \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow {AB}  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow {AD}  = \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b \end{array}$

Khi đó: $\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b  + \overrightarrow a } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right)$

$\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow a  + \overrightarrow b ,\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2}\left( { - \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right)$

T a có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right).\frac{1}{2}\left( { - \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right)\\ = \frac{1}{4}\left( { - \frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.{a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.{b^2}} \right) = \frac{{ - {a^4}{b^2} - 2{b^4}{a^2} + 2{b^2}{a^4} + {a^4}{b^2}}}{{4{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} = 0\end{array}$

Vậy $AM \bot MN\left( {dpcm} \right)$.

Bài tập:

1. Cho hình vuông ABCD, lấy N thuộc BD sao cho BN=3ND. M là trung điểm AB. Chứng minh tam giác MNC vuông cân.

2.  Cho hình thang vuông ABCD (A=D=90⁰), CD=2AB. Kẻ DH vuông góc với AC, M là trung điểm HC. Chứng minh tam giác DBM vuông.

3.  Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm BC, E là hình chiếu vuông góc của D trên AC, F là trung điểm DE. Chứng minh: AF vuông góc với BE.