KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. Kỹ năng đưa phương trình về dạng tích

1. Sử dụng các phép biến đổi Lượng giác và Đại số:

a) Công cụ

- Lượng giác: Công thức cộng. CT Tổng ßà tích; hạ bậc; nhân...

- Đại số: Nhóm, thêm/bớt...

b) Bài tập áp dụng

Bài 1. Sử dụng CT nhân đôi, hạ bậc

[ĐH D2010]  sin2x - cos2x + 3sinx - cosx - 1 = 0.

[ĐH B2010](sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x - sinx = 0

[ĐH B05] <latex>$1 + \sin  + \cos x + \sin 2x + \cos 2x = 0$</latex>

[ĐH D04]<latex>$\left( {2\cos x - 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) = \sin 2x - \sin x$</latex>

Bài 2. Sử dụng CT tổng à tích, hạ bậc

[ĐH B07] <latex>$2{\sin ^2}2x + \sin 7x - 1 = \sin x$</latex>

[ĐH D06] <latex>$\cos 3x + \cos 2x - \cos x - 1 = 0$</latex>

[ĐH D02] Tìm <latex>$x \in \left[ {0;14} \right]$</latex> <latex>$\cos 3x - 4\cos 2x + 3\cos x - 4 = 0$</latex>

[ĐH B02]  <latex>${\sin ^2}3x - {\cos ^2}4x = {\sin ^2}5x - {\cos ^2}6x$</latex>

Bài 3. Sử dụng CT tích à tổng, CT cộng với các góc ĐB

[ĐH D09] <latex>$\sqrt 3 \cos 5x - 2\sin 3x\cos 2x - \sin x = 0$</latex>

[ĐH B09] <latex>$\sin x + \cos x\sin 2x + \sqrt 3 \cos 3x = 2\left( {\cos 4x + {{\sin }^3}x} \right)$</latex>

[ĐH B08] <latex>${\sin ^3}x - \sqrt 3 {\cos ^3}x = \sin x{\cos ^2}x - \sqrt 3 {\sin ^2}x\cos x$</latex>

[ĐH D07] <latex>${\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 2$</latex>

[CĐ 08] <latex>$\sin 3x - \sqrt 3 \cos 3x = 2\sin 2x$</latex>

Bài 4. Giải các phương trình (BTVN)

sin2x + cos2x - 5cosx - sinx + 3 = 0              

(sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x - sinx = 0

sin7x - 2cos²2x = sinx - 1                               

sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0

<latex>$4\sin x.\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) - 4\sqrt 3 .\cos x.{\text{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).{\text{cos}}\left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 2$</latex>

2. Các công thức ĐB khác   

a) Các công thức ĐB

+) 1 + sin2x = (cosx + sinx)²

+) 1 - sin2x = (cosx - sinx)²

+) cos2x = (cosx – sinx)(cosx + sinx)

+) 1 + sin2x + cos2x = (cosx + sinx)2cosx

+) 1 - sin2x + cos2x = (cosx - sinx)2cosx

+) <latex>$1 \pm \operatorname{t} {\text{anx}} = \frac{{\cos x \pm \operatorname{s} {\text{inx}}}}{{\cos x}}$</latex>

+) <latex>$1 \pm \cot {\text{x}} = \frac{{\operatorname{s} {\text{inx}} \pm \cos x}}{{\sin x}}$</latex>

+) <latex>$\sqrt 2 \sin (x \pm \frac{\pi }{4}) = \operatorname{s} {\text{inx}} \pm \cos x$</latex>

+) Các công thức quy gọn góc

b) Bài tập

Bài 1. Giải các phương trình

2 + sin2x + cos2x = 2sin²x

2 + cos2x – sin2x = 2cos²x

[A07] (1 + sin²x)cosx + (1 + cos²x)sinx = 1 + sin2x

[A03] <latex>$\operatorname{c} {\text{otx}} - 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \operatorname{t} {\text{anx}}}} + {\sin ^2}x - \frac{1}{2}\sin 2x$</latex>

<latex>${\text{tanx}} - 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \cot {\text{x}}}} + {\sin ^2}x - \frac{1}{2}\sin 2x$</latex>

Bài 2. Giải các PT

[ĐH D05] <latex>${\cos ^4}x + {\sin ^4}x + \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{3}{2} = 0$</latex>

(1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx

II. Kỹ năng loại nghiệm.

Loại nghiệm bằng đường tròn lượng giác

Loại nghiệm trong quá trình giải

Loại nghiệm bằng PP nghiệm nguyên

Áp dụng

a) Thí dụ minh họa

Thí dụ 1. a) tan3x = tanx        b) tanx.cot3x = 1

Thí dụ 2.

a) <latex>${\text{tanx}} = \operatorname{c} {\text{otx}} - \frac{{2\cos 6x}}{{\sin 2x}}$</latex>           b) <latex>$\operatorname{c} {\text{otx}} = {\text{tanx}} - \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}$</latex>

b) Bài tập.

1) [ĐH A06] <latex>$\frac{{2\left( {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} \right) - \sin x\cos x}}{{\sqrt 2  - 2\sin x}} = 0$</latex>;       

2) [ĐH A03]  <latex>$\cot x - 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \frac{1}{2}\sin 2x$</latex>

3) [ĐH B03] <latex>$\cot x - \tan x + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}$</latex>;                

4) [ĐH A08] <latex>$\frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\sin \left( {x - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}} = 4\sin \left( {\frac{{7\pi }}{4} - x} \right)$</latex>

5) [ĐH A09]  ;                

6) [ĐH A2010]<latex>$\frac{{\left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right)\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{1 + \tan x}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x$</latex>

7) ĐH B04] <latex>$5\sin x - 2 = 3(1 - \sin x){\tan ^2}x$</latex>;                      

8) [ĐH D03] <latex>${\sin ^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\tan 2x - {\cos ^2}\frac{x}{2} = 0$</latex>

9) [ĐH B06] <latex>$\cot x + \sin x\left( {1 + \tan x\tan \frac{x}{2}} \right) = 4$</latex>         

10) [ĐH B06] <latex>$\cot x + \sin x\left( {1 + \tan x\tan \frac{x}{2}} \right) = 4$</latex>

11) <latex>$\frac{{{{\sin }^4}x + c{\text{o}}{{\text{s}}^4}x}}{{5\sin 2x}} = \frac{1}{2}\cot 2x - \frac{1}{{8\sin 2x}}$</latex>

11) [ĐH A11] <latex>$\frac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + {{\cot }^2}x}} = \sqrt 2 \sin x\sin 2x$</latex>