Kĩ năng phân tích thành nhân tử giải phương trình lượng giác

Kĩ năng phân tích thành nhân tử giải phương trình lượng giác
1) Các phép biến đổi lượng giác thành tích:
Nhóm tổng cùng loại:
$\begin{gathered}  \cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2} \hfill \\  \cos a - \cos b =- 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2} \hfill \\  \sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2} \hfill \\  \sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2} \hfill \\ \end{gathered}$
Nhóm nhân đôi, hạ bậc:
$\begin{gathered}  \sin 2a = 2\sin a.\cos a \hfill \\  \cos 2a = \left( {\cos a + \sin a} \right)\left( {\cos a - \sin a} \right) \hfill \\  1 \pm \sin 2a = {\left( {\sin a \pm \cos a} \right)^2} \hfill \\  1 + \cos 2a = 2{\cos ^2}a \hfill \\  1 - \cos 2a = 2{\sin ^2}a \hfill \\  {\sin ^2}a = 1 - {\cos ^2}a = \left( {1 - \cos a} \right)\left( {1 + \cos a} \right) \hfill \\  {\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = \left( {1 - \sin a} \right)\left( {1 + \sin a} \right) \hfill \\ \end{gathered}$
Nhóm nhân ba:
$\begin{gathered}  \sin 3a = 3\sin a - 4{\sin ^3}a = \sin a\left( {3 - 4{{\sin }^2}a} \right) = \sin a\left( {4{{\cos }^2}a - 1} \right) \hfill \\   = \sin a\left( {2\cos a - 1} \right)\left( {2\cos a + 1} \right) \hfill \\ \end{gathered}$
$\cos 3a = \cos a\left( {1 - 2\cos a} \right)\left( {1 + 2\cos a} \right)$
$\sin 3a \pm \cos 3a = \left( {\sin a \mp \cos a} \right)\left( {....} \right)$
$\begin{gathered}  \sin na = \sin a.\left( {......} \right) \hfill \\  \sin na = \cos a.\left( {...} \right)n\_chan \hfill \\  \cos na = \cos a\left( {....} \right)n\_le \hfill \\  \cos na = \left( {\cos a - \sin a} \right)\left( {\cos a + \sin a} \right).\left( {....} \right)n\_chan \hfill \\ \end{gathered}$
Tam thức bậc 2: $f\left( t \right) = a{t^2} + bt + c = a\left( {t - {t_1}} \right)\left( {t - {t_2}} \right)$
II. Luyện tập:
1) Giải phương trình:
a) $\sin 2x - \sqrt 3 \cos x = 0$
Nhớ sin2x có nhân tử là cosx, nên áp dụng công thức nhân đôi, ta có:
$\begin{gathered}  \sin 2x - \sqrt 3 \cos x = 0 \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \sqrt 3 \cos x = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \cos x = 0 \hfill \\  \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}$
b) $\sin 3x - 2\sin x = 0$
Nhớ sin3x ( sinnx) luôn chứa nhân tử là sin x, nên áp dụng công thức nhân 3:
$\begin{gathered}  pt \Leftrightarrow 3\sin x - 4{\sin ^3}x - 2\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x\left( {1 - 4{{\sin }^2}x} \right) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \sin x = 0 \hfill \\  1 - 4{\sin ^2}x = 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \sin x = 0 \hfill \\  \sin x =  \pm \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}$
c) $\sin 4x =  - 2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)$
Nhớ sin4x chứa cos2x, cos2x lại chứa nhân tử sinx+cosx, vậy ta có pt tích:
$\begin{gathered}  4\sin x\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right) =  - 2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right) \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \sin x + \cos x = 0 \hfill \\  4\sin x\cos x\left( {\cos x - \sin x} \right) =  - 2\sqrt 2 \left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}$
Với pt(*), đặt $\cos x - \sin x = t\left( {\left| t \right| \leqslant \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}$, khi đó (*) trở thành:
$2\left( {1 - {t^2}} \right)t =  - 2\sqrt 2  \Leftrightarrow t = \sqrt 2$
d) $\cos x + {\cos ^2}x = {\sin ^3}x$
Nhớ ${\sin ^3}x$ chứa ${\sin ^2}x \to 1 + \cos x$, nên đưa về pt tích:
$\begin{gathered}  pt \Leftrightarrow \cos x\left( {1 + \cos x} \right) = \sin x\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  1 + \cos x = 0 \hfill \\  \cos x - \sin x + \sin x\cos x = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}$
e) $\cos 2x + \sin 5x + \sin 3x =  - 1$
Nhớ 1+cos2x là có công thức lượng giác, vì thế ta nhóm:
$\begin{gathered}  pt \Leftrightarrow \left( {1 + \cos 2x} \right) + \sin 5x + \sin 3x = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + 2\sin 4x.\cos x = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 2\cos x\left( {1 + \sin 4x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \cos x = 0 \hfill \\  \sin 4x =  - 1 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}$
f) $\cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) + \sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0$
Rõ ràng $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ là con số nhạy cảm đối với sin và cos, do đó ta có:
$\begin{gathered}  pt \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin 2x + \sin \frac{\pi }{3} = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \hfill \\  \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}$
h) $1 + \sin x + \cos x + \sin 2x + \cos 2x = 0$
Nhớ rằng 1+sin2x và cos2x đều chứa nhân tử ( sinx+cosx)
u) $9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x - 6 = 0$
Nhận thấy pt đưa về pt bậc hai đối với sinx và cosx. Do đó ta
Nghĩ tới việc phân tích nhân tử đa thức bậc hai ( 2 ẩn ), coi là tam thức bậc hai một ẩn, tính delta nếu dạng bình phương thì phân tích đẹp. Tuy nhiên khó ở chỗ cos2x chuyển về $m{\sin ^2}x + n{\cos ^2}x$, với m, n là bao nhiêu cho Delta đẹp đây?Ta có:
 $9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x - 8 = 0$
Dùng casio, solve ta có nghiệm $x = \frac{\pi }{2}$, nên nhân tử sẽ là $\left( {\sin x - 1} \right)$
Ta biến đổi như sau:
$\begin{gathered}  9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x - 8 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow  - 6\cos x\left( {\sin x - 1} \right) + \left( {9\sin x - 2{{\sin }^2}x - 7} \right) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow  - 6\cos x\left( {\sin x - 1} \right) + \left( {\sin x - 1} \right)\left( { - 2\sin x + 7} \right) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \sin x = 1 \hfill \\   - 6\cos x - 2\sin x + 7 = 0\left( {vn} \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}$
Bài tập:
$\begin{gathered}  1)1 + \sin x + \cos 3x = \cos x + \sin 2x + \cos 2x \hfill \\  2)\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x \hfill \\  3)\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\  4)\cos 2x - 3\sin 2x + 5\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{{9\pi }}{4}} \right) = 3 \hfill \\  5)\frac{{{{\tan }^2}x + \tan x}}{{{{\tan }^2}x + 1}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$
$\begin{gathered}  7)\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x \hfill \\  8)2{\sin ^3}x - \cos 2x + \cos x = 0 \hfill \\  9)2\sin 3x - \frac{1}{{\sin x}} = 2\cos 3x + \frac{1}{{\cos x}} \hfill \\  10)\frac{{{{\cos }^2}x\left( {\cos x - 1} \right)}}{{\sin x + \cos x}} = 2\left( {1 + \sin x} \right) \hfill \\ \end{gathered}$
$\begin{gathered}  2\sqrt 2 \cos 2x + \sin 2x.\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) - 4\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \hfill \\  12)2{\sin ^2}x\left( {\sin x + \cos x} \right) = \sqrt 2 \sin 2x - \frac{1}{{\sqrt 2 \sin 4x}} \hfill \\  13){\cos ^3}x + {\sin ^3}x = \sin x - \cos x \hfill \\  14){\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin 2x + \sin x + \cos x \hfill \\  15){\cos ^3}x + {\cos ^2}x + 2\sin x - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered}$
$\begin{gathered}  16)\sin x + {\sin ^2}x + {\cos ^3}x = 0 \hfill \\  17)2{\sin ^3}x - \sin x = 2{\cos ^3}x - \cos x + \cos 2x \hfill \\  18)4{\cos ^3}x + 3\sqrt 2 \sin 2x = 8\cos x \hfill \\  19)\sin x + {\sin ^2}x + {\sin ^3}x + {\sin ^4}x = \cos x + {\cos ^2}x + {\cos ^3}x + {\cos ^4}x \hfill \\  20){\cos ^4}\frac{x}{2} - {\sin ^4}\frac{x}{2} = \sin 2x \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered}  21)\left( {\sin x + 3} \right){\sin ^4}\frac{x}{2} - \left( {\sin x + 3} \right){\sin ^2}\frac{x}{2} + 1 = 0 \hfill \\  22)2\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}} \hfill \\  23)\frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\sin 2x}} = \frac{2}{{\sin 4x}} \hfill \\  24)\frac{{\sin 5x}}{5} = \frac{{\sin 3x}}{3} \hfill \\  25)2\cos 2x - 8\cos x + 7 = \frac{1}{{\cos x}} \hfill \\ \end{gathered}$
$\begin{gathered}  26)\frac{{{{\cos }^2}x\left( {1 + \cot x} \right) - 3}}{{\sin x - \cos x}} = 3\cos x \hfill \\  27){\sin ^3}x\left( {1 - \cot x} \right) + {\cos ^3}x\left( {1 - \tan x} \right) = \frac{3}{2}\cos 2x \hfill \\  28)\cos 2x + 3\sin 2x + 5\sin x - 3\cos x = 3 \hfill \\  29)\sin 4x - \cos 4x = 1 - 4\left( {\sin x - \cos x} \right) \hfill \\  30){\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 2\left( {{{\sin }^8}x + {{\cos }^8}x} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. Kỹ năng đưa phương trình về dạng tích

1. Sử dụng các phép biến đổi Lượng giác và Đại số:

a) Công cụ

- Lượng giác: Công thức cộng. CT Tổng ßà tích; hạ bậc; nhân...

- Đại số: Nhóm, thêm/bớt...

b) Bài tập áp dụng

Bài 1. Sử dụng CT nhân đôi, hạ bậc

[ĐH D2010]  sin2x - cos2x + 3sinx - cosx - 1 = 0.

[ĐH B2010](sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x - sinx = 0

[ĐH B05] <latex>$1 + \sin  + \cos x + \sin 2x + \cos 2x = 0$</latex>

[ĐH D04]<latex>$\left( {2\cos x - 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) = \sin 2x - \sin x$</latex>

Bài 2. Sử dụng CT tổng à tích, hạ bậc

[ĐH B07] <latex>$2{\sin ^2}2x + \sin 7x - 1 = \sin x$</latex>

[ĐH D06] <latex>$\cos 3x + \cos 2x - \cos x - 1 = 0$</latex>

[ĐH D02] Tìm <latex>$x \in \left[ {0;14} \right]$</latex> <latex>$\cos 3x - 4\cos 2x + 3\cos x - 4 = 0$</latex>

[ĐH B02]  <latex>${\sin ^2}3x - {\cos ^2}4x = {\sin ^2}5x - {\cos ^2}6x$</latex>

Bài 3. Sử dụng CT tích à tổng, CT cộng với các góc ĐB

[ĐH D09] <latex>$\sqrt 3 \cos 5x - 2\sin 3x\cos 2x - \sin x = 0$</latex>

[ĐH B09] <latex>$\sin x + \cos x\sin 2x + \sqrt 3 \cos 3x = 2\left( {\cos 4x + {{\sin }^3}x} \right)$</latex>

[ĐH B08] <latex>${\sin ^3}x - \sqrt 3 {\cos ^3}x = \sin x{\cos ^2}x - \sqrt 3 {\sin ^2}x\cos x$</latex>

[ĐH D07] <latex>${\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 2$</latex>

[CĐ 08] <latex>$\sin 3x - \sqrt 3 \cos 3x = 2\sin 2x$</latex>

Bài 4. Giải các phương trình (BTVN)

sin2x + cos2x - 5cosx - sinx + 3 = 0              

(sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x - sinx = 0

sin7x - 2cos²2x = sinx - 1                               

sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0

<latex>$4\sin x.\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) - 4\sqrt 3 .\cos x.{\text{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).{\text{cos}}\left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 2$</latex>

2. Các công thức ĐB khác   

a) Các công thức ĐB

+) 1 + sin2x = (cosx + sinx)²

+) 1 - sin2x = (cosx - sinx)²

+) cos2x = (cosx – sinx)(cosx + sinx)

+) 1 + sin2x + cos2x = (cosx + sinx)2cosx

+) 1 - sin2x + cos2x = (cosx - sinx)2cosx

+) <latex>$1 \pm \operatorname{t} {\text{anx}} = \frac{{\cos x \pm \operatorname{s} {\text{inx}}}}{{\cos x}}$</latex>

+) <latex>$1 \pm \cot {\text{x}} = \frac{{\operatorname{s} {\text{inx}} \pm \cos x}}{{\sin x}}$</latex>

+) <latex>$\sqrt 2 \sin (x \pm \frac{\pi }{4}) = \operatorname{s} {\text{inx}} \pm \cos x$</latex>

+) Các công thức quy gọn góc

b) Bài tập

Bài 1. Giải các phương trình

2 + sin2x + cos2x = 2sin²x

2 + cos2x – sin2x = 2cos²x

[A07] (1 + sin²x)cosx + (1 + cos²x)sinx = 1 + sin2x

[A03] <latex>$\operatorname{c} {\text{otx}} - 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \operatorname{t} {\text{anx}}}} + {\sin ^2}x - \frac{1}{2}\sin 2x$</latex>

<latex>${\text{tanx}} - 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \cot {\text{x}}}} + {\sin ^2}x - \frac{1}{2}\sin 2x$</latex>

Bài 2. Giải các PT

[ĐH D05] <latex>${\cos ^4}x + {\sin ^4}x + \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{3}{2} = 0$</latex>

(1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx

II. Kỹ năng loại nghiệm.

Loại nghiệm bằng đường tròn lượng giác

Loại nghiệm trong quá trình giải

Loại nghiệm bằng PP nghiệm nguyên

Áp dụng

a) Thí dụ minh họa

Thí dụ 1. a) tan3x = tanx        b) tanx.cot3x = 1

Thí dụ 2.

a) <latex>${\text{tanx}} = \operatorname{c} {\text{otx}} - \frac{{2\cos 6x}}{{\sin 2x}}$</latex>           b) <latex>$\operatorname{c} {\text{otx}} = {\text{tanx}} - \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}$</latex>

b) Bài tập.

1) [ĐH A06] <latex>$\frac{{2\left( {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} \right) - \sin x\cos x}}{{\sqrt 2  - 2\sin x}} = 0$</latex>;       

2) [ĐH A03]  <latex>$\cot x - 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \frac{1}{2}\sin 2x$</latex>

3) [ĐH B03] <latex>$\cot x - \tan x + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}$</latex>;                

4) [ĐH A08] <latex>$\frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\sin \left( {x - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}} = 4\sin \left( {\frac{{7\pi }}{4} - x} \right)$</latex>

5) [ĐH A09]  ;                

6) [ĐH A2010]<latex>$\frac{{\left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right)\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{1 + \tan x}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x$</latex>

7) ĐH B04] <latex>$5\sin x - 2 = 3(1 - \sin x){\tan ^2}x$</latex>;                      

8) [ĐH D03] <latex>${\sin ^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\tan 2x - {\cos ^2}\frac{x}{2} = 0$</latex>

9) [ĐH B06] <latex>$\cot x + \sin x\left( {1 + \tan x\tan \frac{x}{2}} \right) = 4$</latex>         

10) [ĐH B06] <latex>$\cot x + \sin x\left( {1 + \tan x\tan \frac{x}{2}} \right) = 4$</latex>

11) <latex>$\frac{{{{\sin }^4}x + c{\text{o}}{{\text{s}}^4}x}}{{5\sin 2x}} = \frac{1}{2}\cot 2x - \frac{1}{{8\sin 2x}}$</latex>

11) [ĐH A11] <latex>$\frac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + {{\cot }^2}x}} = \sqrt 2 \sin x\sin 2x$</latex>

Chứng minh bài toán hình học bằng phương pháp véc tơ

Buổi 4: Chứng minh bài toán hình học bằng phương pháp véc tơ

-Chọn 2 véc tơ ( ko cùng phương ) làm hai véc tơ cơ sở

-Biểu diễn các véc tơ liên quan qua hai véc tơ cơ sở

-Chứng minh các tính chất hình học bằng các phép tính qua véc tơ cơ sở

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD. M và N là trung điểm CD và CB. Chứng minh: $AM \bot DN$

Giải: Chọn hai véc tơ cơ sở là $\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b  = \overrightarrow {AD}  \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0,\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = AB = m$.

Ta có: $\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DM}  = \overrightarrow b  + \frac{1}{2}\overrightarrow a$, $\overrightarrow {DN}  = \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow a  - \frac{1}{2}\overrightarrow b$

Để c/m vuông góc , ta chứng minh tích vô hướng của hai véc tơ bằng 0.

Ta có: $\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DN}  = \left( {\overrightarrow b  + \frac{1}{2}\overrightarrow a } \right)\left( {\overrightarrow a  - \frac{1}{2}\overrightarrow b } \right) = \overrightarrow b .\overrightarrow a  - \frac{1}{2}{\overrightarrow b ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow a ^2} - \frac{1}{4}\overrightarrow a .\overrightarrow b \\ = 0 - \frac{1}{2}{m^2} + \frac{1}{2}{m^2} - 0 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow {DN}  \Rightarrow AM \bot DN\left( {dpcm} \right)\end{array}$

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. D là trung điểm AC và K, E là tâm đường tròn ng tiếp tam giác ABC và trọng tâm tam giác ABD. Chứng minh: $KE \bot BD$.

Giải: Gọi H là trung điểm BC, chọn hai véc tơ cơ sở là $\overrightarrow a  = \overrightarrow {HC} ,\overrightarrow b  = \overrightarrow {HA}$

Ta có: $\begin{array}{l}\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BH}  + \overrightarrow {HA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \\ = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HC} } \right) = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \frac{1}{2}\left( { - \overrightarrow b  + \overrightarrow a } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow a  + \frac{1}{2}\overrightarrow b \end{array}$

Ta có:

 $\begin{array}{l}\Delta AKD \sim \Delta ACH \Rightarrow \frac{{AK}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AH}}\\ \Rightarrow AK = AC.\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{1}{2}.\frac{{A{C^2}}}{{AH}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2b}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2{b^2}}}.HA \Rightarrow \overrightarrow {AK}  =  - \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2{b^2}}}\overrightarrow b \end{array}$

Vậy: $\overrightarrow {KE}  = \overrightarrow {KD}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow a  = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2{b^2}}}.\overrightarrow b  + \frac{1}{2}\left( { - \overrightarrow b  + \overrightarrow a } \right) - \frac{2}{3}\overrightarrow a$$=  - \frac{1}{6}\overrightarrow a  + \left( {\frac{{{a^2}}}{{2{b^2}}}} \right)\overrightarrow b$

Ta có: $\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {KE}  = \left( {\frac{3}{2}\overrightarrow a  + \frac{1}{2}\overrightarrow b } \right)\left( { - \frac{1}{6}\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{2{b^2}}}.\overrightarrow b } \right) =  - \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{2}.\frac{{{a^2}}}{{2{b^2}}}{b^2} = 0 \Rightarrow BD \bot KE\left( {dpcm} \right)$

Ví dụ 3:  Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD, lấy M, N lần lượt là trung điểm các cạnh HB, CD. Chứng minh rằng: $AM \bot MN$.

Giải: Chọn hai véc tơ cơ sở là $\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b  = \overrightarrow {AD}$, độ dài tương ứng của chúng là a, b.

Để biểu diễn các véc tơ $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {MN}$qua hai véc tơ cơ sở, ta cần biểu diễn véc tơ $\overrightarrow {AH}$trước. Ta có: $\begin{array}{l}\frac{{A{D^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{DH.DB}}{{BH.DB}} = \frac{{DH}}{{BH}} \Rightarrow \frac{{DH}}{{BH}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\\ \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow {AB}  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow {AD}  = \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b \end{array}$

Khi đó: $\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b  + \overrightarrow a } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right)$

$\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow a  + \overrightarrow b ,\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2}\left( { - \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right)$

T a có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right).\frac{1}{2}\left( { - \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right)\\ = \frac{1}{4}\left( { - \frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.{a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.{b^2}} \right) = \frac{{ - {a^4}{b^2} - 2{b^4}{a^2} + 2{b^2}{a^4} + {a^4}{b^2}}}{{4{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} = 0\end{array}$

Vậy $AM \bot MN\left( {dpcm} \right)$.

Bài tập:

1. Cho hình vuông ABCD, lấy N thuộc BD sao cho BN=3ND. M là trung điểm AB. Chứng minh tam giác MNC vuông cân.

2.  Cho hình thang vuông ABCD (A=D=90⁰), CD=2AB. Kẻ DH vuông góc với AC, M là trung điểm HC. Chứng minh tam giác DBM vuông.

3.  Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm BC, E là hình chiếu vuông góc của D trên AC, F là trung điểm DE. Chứng minh: AF vuông góc với BE.

Giải bài toán hình học bằng phương pháp TỌA ĐỘ

Buổi 5: Chứng minh bài toán hình học bằng phương pháp TỌA ĐỘ

Nhiều bài toán hình học chứng minh bằng pp lớp 8,9 rất khó khăn , ở lớp 10 chúng ta còn có thể giải bằng phương pháp tọa độ, đặc biệt các bài toán về hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, tam giác cân, đều, tam giác vuông ,….Với các yêu  cầu chứng minh : vuông góc, thẳng hàng, song song, bằng nhau,…

Quy trình:

-Chọn hệ trục tọa độ phù hợp ( hai đt vuông góc với nhau )

-Tính tọa độ các điểm liên quan

-Giải bài toán theo yêu cầu hình học bằng tọa độ

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD. M và N là trung điểm CD và CB. Chứng minh: $AM \bot DN$

Chọn hệ trục Oxy, với trục Ox là AB, trục Oy là AD. Gọi độ dài hình vuông là a.

Ta có: $A\left( {0;0} \right),B\left( {1;0} \right),C\left( {1;1} \right),D\left( {0;1} \right)$

Suy ra: $M\left( {\frac{1}{2};1} \right),N\left( {1;\frac{1}{2}} \right)$

Ta có: $$\overrightarrow {AM}  = \left( {\frac{1}{2};1} \right),\overrightarrow {DN}  = \left( {1; - \frac{1}{2}} \right)$$

Ta có: $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DN}  = \frac{1}{2}.1 + 1.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0 \Rightarrow AM \bot DN$

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. D là trung điểm AC và K, E là tâm đường tròn ng tiếp tam giác ABC và trọng tâm tam giác ABD. Chứng minh: $KE \bot BD$.

Giải: Gọi H là trung điểm BC, chọn hệ trucj Oxy với Ox là HC, Oy là HA.

Đặt HC=a, HA=b. Ta có: $A\left( {0;b} \right),B\left( { - a;0} \right),C\left( {a;0} \right) \Rightarrow D\left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2}} \right)$

E là trọng tâm tam giác ABD, nên tọa độ E là: $E\left( { - \frac{a}{6};\frac{b}{2}} \right)$

Do tam giác ABC cân tại A, nên tâm ngoại tiếp K thuộc Oy.

Đt DK  đi qua D nhận véc tơ $\overrightarrow {AC}  = \left( {a; - b} \right)$ có pt: $a\left( {x - \frac{a}{2}} \right) - b\left( {y - \frac{b}{2}} \right) = 0$

K là giao điểm của đt DK với trục Oy: $K\left( {0;\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}}} \right)$

Ta lại có: $\overrightarrow {BD}  = \left( {\frac{{3a}}{2};\frac{b}{2}} \right),\overrightarrow {EK}  = \left( {\frac{a}{6};\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} - \frac{b}{2}} \right)$

Suy ra: $\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {EK}  = \frac{{3a}}{2}.\frac{a}{6} + \frac{b}{2}\left( {\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} - \frac{b}{2}} \right) = 0$ nên  $KE \bot BD$

Ví dụ 3:  Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD, lấy M, N lần lượt là trung điểm các cạnh HB, CD. Chứng minh rằng: $AM \bot MN$.

Giải: Ta chọn hệ trục Oxy với Ox là AB, Oy là AD. Đặt AB=a,AD=b. Dễ dàng tính được : $A\left( {0;0} \right),B\left( {a;0} \right),C\left( {a;b} \right),D\left( {0;b} \right) \Rightarrow N\left( {\frac{a}{2};b} \right)$

Tìm tọa độ H:  Viết pt DB và pt AH ta sẽ tìm giao điểm H. Tuy nhiên ta có thể tính trực tiếp:

Theo talet: $\frac{{{x_H}}}{a} = \frac{{DH}}{{DB}} = \frac{{DH.DB}}{{D{B^2}}} = \frac{{A{D^2}}}{{D{B^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \Rightarrow {x_H} = \frac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}$

Tương tự ta có: $H\left( {\frac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}};\frac{{b{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)$ suy ra$M\left( {\frac{{a\left( {{a^2} + 2{b^2}} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}};\frac{{b{a^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NM}  = \frac{{a\left( {{a^2} + 2{b^2}} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}\left( {\frac{{a\left( {{a^2} + 2{b^2}} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} - \frac{a}{2}} \right) + \frac{{b{a^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}\left( {\frac{{b{a^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} - b} \right) = 0$

Vậy $AM \bot MN\left( {dpcm} \right)$.

Bài tập:

1. Cho hình vuông ABCD, lấy N thuộc BD sao cho BN=3ND. M là trung điểm AB. Chứng minh tam giác MNC vuông cân.

2.  Cho hình thang vuông ABCD (A=D=90⁰), CD=2AB. Kẻ DH vuông góc với AC, M là trung điểm HC. Chứng minh tam giác DBM vuông.

3.  Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm BC, E là hình chiếu vuông góc của D trên AC, F là trung điểm DE. Chứng minh: AF vuông góc với BE.

Hàm số ở đạo hàm

VD4: Giải phương trình: $$15{x^4} + 30{x^2} - 13 = 8\left( {6{x^2} - x - 1} \right)\sqrt {2x - 1}$$

Giải: Xét hàm số: $$f\left( x \right) = 15{x^4} + 30{x^2} - 13 - 8\left( {6{x^2} - x - 1} \right)\sqrt {2x - 1} ,x \ge \frac{1}{2}$$ , có:

$f'\left( x \right) = 60\left( {{x^3} + x - 2x\sqrt {2x - 1} } \right) = 60\left( {g\left( x \right) - g\left( {\sqrt {2x - 2} } \right)} \right)$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow g\left( x \right) = g\left( {\sqrt {2x - 1} } \right) \Leftrightarrow x = \sqrt {2x - 1}  \Leftrightarrow x = 1$

Lập bảng biến thiên ta thấy: $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Tóm lại: Đây là dạng pt mà đạo hàm có dạng pt hàm số quen thuộc. Lập bảng, ta xác định được nghiệm của pt dó.

VD5: Giải bất pt $\sqrt[4]{{{{\left( {3 - 2x} \right)}^3}}} + \sqrt[4]{{{{\left( {2x - 1} \right)}^3}}} + \sqrt {7 - 3x}  + \sqrt {3x + 1}  \ge 6$

Giải: Xét hàm số $f\left( x \right) = \sqrt[4]{{{{\left( {3 - 2x} \right)}^3}}} + \sqrt[4]{{{{\left( {2x - 1} \right)}^3}}} + \sqrt {7 - 3x}  + \sqrt {3x + 1}  - 6$

$f'\left( x \right) = \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{2x - 1}}}} + \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }} - \frac{1}{{\sqrt[4]{{3 - 2x}}}} - \frac{1}{{\sqrt {7 - 3x} }}} \right) = \frac{2}{3}\left[ {g\left( x \right) - g\left( {2 - x} \right)} \right]$

Với $g\left( t \right) = \frac{1}{{\sqrt[4]{{2t - 1}}}} + \frac{1}{{\sqrt {3t + 1} }}$ đồng biến trên $\left[ {\frac{1}{2};\frac{7}{3}} \right]$.

Do đó $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2 - x \Leftrightarrow x = 1$

Lập bảng biến thiên hàm số f(x) ta sẽ được nghiệm bpt.

Hàm số đối lập

VD1: Giải hệ: $$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {x^2} + 2xy + 3x - 2\left( {y + 1} \right)\sqrt {2y - 1}  = {y^2}\\{x^2}y + {x^2} - 4xy + 2x + 2{y^2} - 3y + 1 = 0\end{array} \right.\\Vo - Trong - Tri - 105\end{array}$$

Giải: pt1 dạng hàm số ko hoàn toàn:

  $${x^3} + 3x - 2\left( {y + 1} \right)\sqrt {2y - 1}  = {\left( {x - y} \right)^2} \Leftrightarrow f\left( x \right) - f\left( {\sqrt {2y - 1} } \right) = {\left( {x - y} \right)^2}$$

Do f đồng biến, vp ko âm nên ta có: $f\left( x \right) - f\left( {\sqrt {2y - 1} } \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \sqrt {2y - 1}  \Leftrightarrow {x^2} - 2y + 1 \ge 0$(*)

Bây giờ xoay sở pt2 vế dạng chứa bt(*):

(Lấy VP2 chia cho bt (*) theo dạng đa thức ấn x, ta đươc; $$\left( {{x^2} - 2y + 1} \right)y + {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} = 0$$

Mà $y \ge \frac{1}{2} \Rightarrow {x^2} - 2y + 1 \le 0(**)$. Từ (*) và (**) ta được x=y=1.

VD2: $\left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {{x^2} + 1}  = \sqrt {2 - y}  + \sqrt {3 - y}  + \sqrt {y - 1} \\{x^3} + 3{x^2} + 5x = \left( {4 + 2x - y} \right)\sqrt {3 + 2x - y}  - 2\end{array} \right.\left( {Vo - Trong - Tri - 106} \right)$

Giải:  Cả hai pt đều dạng hàm số , tuy nhiên ko hoàn toán.

Từ pt1, do $\sqrt {y - 1}  \ge 0 \Rightarrow x \ge \sqrt {2 - y}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} + y \ge 2\end{array} \right.\left( * \right)$

Từ pt2, hàm số : $f\left( {x + 1} \right) - f\left( {\sqrt {3 + 2x - y} } \right) =  - x \le 0 \Rightarrow x + 1 \le \sqrt {3 + 2x - y}  \Rightarrow {x^2} + y \le 2\left( {**} \right)$

Từ (*) và (*) ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 2\\\sqrt {y - 1}  = 0\\ - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow vn$.

VD3: $$\left\{ \begin{array}{l}\left( {y + 2} \right)\left( {4\sqrt {2x - 1}  + 3} \right) = \left( {\sqrt {2x - 1}  + 2} \right)\left( {3y + xy + 2x + 1} \right)\\8{x^3} + 5x = {y^3} + 3{y^2} + 5y + 4\end{array} \right.$$

Cái này tự làm nhé !

Các bạn chia sẻ lên fb cho bạn bè cùng xem nhé !

KẾT NỐI HAI PHƯƠNG TRÌNH

Như  ta đã biết, việc xử lý từng phương trình độc lập trong hệ khác dễ dàng nhở CASIO, dễ suy đoán, vì thế chắc xu thế mới sẽ là kết nối hai pt lại để được 1 pt mới có thể xử lý đuợc ( đưa về tích, ẩn phụ, đẳng cấp, hàm số,….), như thế máy tính CASIO sẽ không giúp được mà cần sự nhanh trí, nhạy bén phát hiện được mối liên quan giữa hai pt của hệ. UCT cũng là một dạng của kết nối, tuy nhiên nó mang tính kĩ thuật, sẽ khó gặp trong đề thi ĐH. Kết nối là pp tư duy rộng hơn, hay hơn , nó là thước đo trí tuệ, do đó sẽ phân loại tốt hs hơn. Giống như các câu hỏi IQ, không phải luyện nhiều là được, mà là luyện tập có phân tích sâu về kết nối.

VD1: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - y}  + \sqrt {x + y}  = 2x - y - 2\\2\sqrt {{x^2} - {y^2}}  + \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right) - 12{x^2} - 10{y^2} + 5xy + 2x - 3y - 13 = 0\end{array} \right.$

Từ pt1,bp hai vế ta có: $2\sqrt {{x^2} - {y^2}}  = {\left( {2x - y - 2} \right)^2} - 2x$, thay vào pt2 ta có:${\left( {2x - y - 2} \right)^2} - 2x + \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right) - 12{x^2} - 10{y^2} + 5xy + 2x - 3y - 13 = 0$(3)

Đến đây CASIO phát hiện quan hệ $\left| \!{\nderline {\,  {x = 9 - y} \,}} \right.$, do đó phân tích :

$\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left( {x + y - 9} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 9 - x$$$

Thay vào (1): $\sqrt {2x - 9}  = 3x - 14 \Leftrightarrow x = 5 \Rightarrow y = 4$. Vậy hệ có nghiệm $\left( {x = 5;y = 4} \right)$

VD2: Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt {2x - 1} }} + \frac{4}{{\sqrt {x + y}  + \sqrt {x - y} }} = \frac{2}{{\sqrt {4y - 3x} }}\\9\sqrt {{x^2} - {y^2}}  + 457x - 576y - 8 = 0\end{array} \right.$$

Cũng như ví dụ 1, ở hai pt của hệ có mối liên quan giữa các căn thức: $\sqrt {x + y} ,\sqrt {x - y} ,\sqrt {{x^2} - {y^2}}$

Ta biến đổi pt1: $$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt {2x - 1} }} + \frac{4}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x + y}  + \sqrt {x - y} } \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {4y - 3x} }}$$

$$\Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt {2x - 1} }} + \frac{4}{{\sqrt {2x + 2\sqrt {{x^2} - {y^2}} } }} = \frac{2}{{\sqrt {4y - 3x} }}$$ . Thế pt2 lên rút gọn ta được:

$$\frac{3}{{\sqrt {2x - 1} }} + \frac{3}{{\sqrt { - 56x + 72y + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {4y - 3x} }}$$ (*)

Áp dụng bdt: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} }}$, ta được: $$\frac{3}{{\sqrt {2x - 1} }} + \frac{3}{{\sqrt { - 56x + 72y + 1} }} \ge \frac{{12}}{{\sqrt {2\left( {2x - 1} \right) + 2\left( { - 56x + 72y + 1} \right)} }} = \frac{2}{{\sqrt {4y - 3x} }}$$

Do đó (*) $\Leftrightarrow 2x - 1 =  - 56x + 72y + 1$

Từ đó giải được ( x=5; y=4)

VD3: $\left\{ \begin{array}{l}2x\sqrt {{x^2} + 1}  = 2\left( {y + 1} \right)\left( {\sqrt 5  + \sqrt {2 + x} } \right)\\{y^2} + 2y = 5 + x + 2\sqrt {5\left( {2 + x} \right)} \end{array} \right.$

Ở hai pt có mối kết nối là $\sqrt {2 + x}$, tuy nhiên nếu thay $\sqrt {2 + x}$ ở pt2 lên pt1 ta ko được gì cả.

Ta biến đổi pt2 một chút: $\begin{array}{l}{y^2} + 2y = 5 + x + 2\sqrt {5\left( {2 + x} \right)}  \Leftrightarrow {y^2} + 2y + 2 = 2 + x + 2\sqrt {5\left( {2 + x} \right)}  + 5 \Leftrightarrow {y^2} + 2y + 2 = {\left( {\sqrt 5  + \sqrt {2 + x} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{y^2} + 2y + 2}  = \sqrt 5  + \sqrt {2 + x} \end{array}$

Bây giờ thế lên pt1 ta được dạng ptx,y độc lập :$2x\sqrt {{x^2} + 1}  = 2\left( {y + 1} \right)\sqrt {{y^2} + y + 2}$

Xét hàm ta được $x = y + 1$, thay vào pt2, giải được: $\left( {x =  - 2;y =  - 3} \right)$.

VD4: $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + y + 1}  - \sqrt {x - y + 1}  = 3x - 2y\\{x^3} - 3x{y^2} + 2{y^3} + \left( {3x - 2y} \right)\sqrt {5 - x - 4y}  = 0\end{array} \right.$

Giữa các căn ko có kết nối gì, chỉ có giữa hai pt có $\left( {3x - 2y} \right)$ chung.

Chú y bt ngoài căn dạng đẳng cấp nên phân tích được: ${x^3} - 3x{y^2} + 2{y^3} = \left( {x + 2y} \right){\left( {x - y} \right)^2}$

Hiệu bt trong hai căn trên là $\left( {x + 2y} \right)$. Ta kết nối như sau:

Từ pt1, liên hợp ta có: $$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{x + 2y}}{{\sqrt {2x + y + 1}  + \sqrt {x - y + 1} }} = 3x - 2y \Rightarrow \left( {x + 2y} \right)\left( {3x - 2y} \right) \ge 0$$

Mặt khác pt2 $\Leftrightarrow \left( {x + 2y} \right){\left( {x - y} \right)^2} + \left( {3x - 2y} \right)\sqrt {5 - x - 4y}  = 0$,

 từ đó ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y} \right)^2} = 0\\\sqrt {5 - x - 4y}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1$

VD5: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {2{y^2} + y\sqrt {3{y^2} - 1}  + 1} \right)x - \left( {x + 1} \right)\sqrt {4x + 1}  = 0\\4{x^2} - 4xy + 1 - 2{y^2} = 0\end{array} \right.$

Ta nhận thấy, ở pt1 có $\sqrt {3{y^2} - 1}$, trong đó, pt dưới có ${\Delta _x} = 3{y^2} - 1$, đó là chìa khóa kết nối hai pt lại…. Điều này dành cho các bạn suy nghĩ nhé .

1)      Bài tập luyện tập:

2)      $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + 2y = 5\\\sqrt { - 4{y^2} - 8y + 21}  + \sqrt { - {x^2} - x + 6}  = 5\end{array} \right.$

3)      $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {3x} \left( {1 + \frac{1}{{x + y}}} \right) = 2\\\sqrt {7y} \left( {1 - \frac{1}{{x + y}}} \right) = 4\sqrt 2 \end{array} \right.$

4)      $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + \frac{1}{y}}  + \sqrt {x + y - 3}  = 3\\\sqrt {{x^2} - 8x + 15}  + x + y = 4\end{array} \right.$

5)      $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} + 4x + 4 = 3\sqrt[3]{{3x + 1}} + \sqrt[3]{{3y + 1}}\\{y^3} + 3{y^2} + 3y = 3x\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + x + 3 = 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} + 3\left( {y + 1} \right) + 2\left( {xy - \sqrt {{x^2}y + 2y} } \right) = 0\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {x^2}y = {x^2} - x + y + 1\\{x^3} - 9{y^2} + 6\left( {x - 3y} \right) - 15 = 3\sqrt[3]{{6{x^2} + 2}}\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {2x - y}  - \sqrt {x + y - 1}  = x\\7{x^3} - 19{x^2}y + {x^2} + 17x{y^2} - 2xy + 3x - 5{y^3} + {y^2} = 0\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {{x^2} - 2x + 5}  = 3y + \sqrt {{y^2} + 4} \\{x^2} - {y^2} - 3x + 3y + 1 = 0\end{array} \right.$

Phương pháp hàm số không hoàn toàn

Nếu như pp hàm số, ta tìm hàm đặc trưng f(t) để biến đổi một pt ( 1 ẩn hay hai ẩn ) về dạng  $f\left( a \right) = f\left( b \right)$, chứng minh hàm f đơn điệu  trên một khoảng chứa a,b thì ta có a=b.

Tuy nhiên thực tế có khi ta ép về dạng hs, nhưng vẫn “thừa” một biểu thức. Nghĩa là pt có dạng: $m\left[ {f\left( a \right) - f\left( b \right)} \right] + n\left[ {g\left( a \right) - g\left( b \right)} \right] = 0$ ( với $m > 0,n > 0$ ) và hàm f và g đều đơn điệu cùng chiều, thì ta vẫn có a=b.

Thật vậy: Giả sử f và  g cùng đổng biến, nếu a<b thì $\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) < f\left( b \right)\\f\left( a \right) < g\left( b \right)\end{array} \right. \Rightarrow m\left[ {f\left( a \right) - f\left( b \right)} \right] + n\left[ {g\left( a \right) - g\left( b \right)} \right] < 0$ ( pt ko thỏa mãn ), tương tự a>b cũng không thỏa mãn. Vậy chỉ có a=b.

Trường hợp đơn  giản nhất là : $m\left[ {f\left( a \right) - f\left( b \right)} \right] + n\left[ {a - b} \right] = 0$.

VD1: Giải bất pt: $9{x^3} - 11{x^2} + 10x - 7 \le \sqrt[3]{{4 - 3x}}$

Nhận thấy số 9 cho ta thấy thừa đi ${x^3}$, ta làm xuất hiện hàm đặc trưng như sau:

Bên trái có mũ 3, bên phải không có dạng bp của căn. Do đó hàm đặc trưng ( nếu có ) là $f\left( t \right) = {t^3} + t$

Ta ép hàm:

$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^3} + \left( {2x - 1} \right) + {x^3} + {x^2} - x - 1 \le \left( {4 - 3x} \right) + \sqrt[3]{{4 - 3x}}\\ \Leftrightarrow f\left( {2x - 1} \right) - f\left( {\sqrt[3]{{4 - 3x}}} \right) + \left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\end{array}$

Dễ dàng c/m hàm f đồng biến.

Chú ý hàm số : $g\left( x \right) = 2x - 1 - \sqrt[3]{{4 - 3x}}$ đồng biến, nhận giá trị 0 khi x=1

+Nếu x<1: thì $g\left( 1 \right) \le 0 \Rightarrow 2x - 1 \le \sqrt[3]{{4 - 3x}} \Rightarrow f\left( {2x - 1} \right) - f\left( {\sqrt[3]{{4 - 3x}}} \right) \le 0$

Và  do đó hi$f\left( {2x - 1} \right) - f\left( {\sqrt[3]{{4 - 3x}}} \right) + \left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} \le 0$ ( hay bpt nhận $x \le 1$ là nghiệm )

+Nếu x>1: Rõ ràng bđt đổi chiều, do đó bpt ko thỏa mãn. Tóm lại nghiệm bpt là $x \le 1$

VD2: $${x^6} + {x^4} = \left( {{x^3} + {x^2} + 2x - 1 - x\sqrt {2x - 1} } \right)\sqrt {2x - 1}$$

Giải:

$$\begin{array}{l}{x^6} + {x^4} = \left( {{x^3} + {x^2} + 2x - 1 - x\sqrt {2x - 1} } \right)\sqrt {2x - 1} \\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + x + {x^2} - \sqrt {2x - 1}  = \frac{{{{\sqrt {2x - 1} }^3} - x{{\sqrt {2x - 1} }^2} + {x^2}\sqrt {2x - 1} }}{{{x^3}}}\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + x + x\left( {x - \frac{{\sqrt {2x - 1} }}{x}} \right) = {\left( {\frac{{\sqrt {2x - 1} }}{x}} \right)^3} - {\left( {\frac{{\sqrt {2x - 1} }}{x}} \right)^2} + \left( {\frac{{\sqrt {2x - 1} }}{x}} \right)\end{array}$$

Với  đk : $x \ge \frac{1}{2}$, hàm số $f\left( t \right) = {t^3} - {t^2} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} - 2t + 1 > 0$ hàm số đổng biến.

Mà pt trên có dạng: $f\left( a \right) + x\left( {a - b} \right) = f\left( b \right) \Leftrightarrow a = b$…..

VD3: Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {2xy - 1} \right)\left( {4{x^2}{y^2} - 4xy + x + y + 2} \right) = 2\left( {x + y} \right)\sqrt {x + y - 1} \\4{x^2}{y^2} - x - y = 3\sqrt {x + y - 1}  - 1\end{array} \right.$

Giải:   PT1  tương đương

$\begin{array}{l}\left( {2xy - 1} \right)\left( {4{x^2}{y^2} - 4xy + 1 + x + y + 1} \right) = 2\left( {x + y} \right)\sqrt {x + y - 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {2xy - 1} \right)^3} + \left( {2xy - 1} \right) + \left( {x + y} \right)\left( {2xy - 1} \right) = 2\left( {x + y} \right)\sqrt {x + y - 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {2xy - 1} \right)^3} + \left( {2xy - 1} \right) + \left( {x + y} \right)\left( {2xy - 1 - \sqrt {x + y - 1} } \right) = \left( {x + y - 1 + 1} \right)\sqrt {x + y - 1} \\ \Leftrightarrow f\left( a \right) + \left( {x + y} \right)\left( {a - b} \right) = f\left( b \right)\\ \Leftrightarrow a = b\\ \Leftrightarrow 2xy - 1 = \sqrt {x + y - 1}  \Rightarrow 2xy = 1 + \sqrt {x + y - 1} \end{array}$

Thay vào pt2 ta có: ${\left( {1 + \sqrt {x + y - 1} } \right)^2} - x - y = 3\sqrt {x + y - 1}  - 1 \Leftrightarrow y = 2 - x$

Thay vào ta lại có: $2x\left( {2 - x} \right) - 1 = 1 \Leftrightarrow  - 2{x^2} + 4x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = y = 1$

Bài tập tương tự:

$2{x^3} - 13{x^2} + 31x - 41 = \left( {2{x^2} - 8x + 3 + \left( {4 - x} \right)\sqrt[3]{{5 - x}}} \right)\sqrt[3]{{5 - x}}$

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {4{x^2} + 1} \right)x + \left( {4{x^2} + 3y - 8} \right)\sqrt {5 - 2y}  = 0\\\sqrt {5 - 2y}  + \sqrt {y + \frac{1}{2}}  = 3x\end{array} \right.$

$\left( {{x^3} - x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {{x^3} - 3x} \right)\sqrt[3]{{2x - 1}} = 0$

$$3x - 3 + \left( {\frac{{2{x^2} - 8x + 1}}{{2{x^2} - 7x + 3}}} \right)\sqrt[3]{{2x - 1}} = \left( {\frac{{{x^2} - 6x + 10}}{{3 - x}}} \right)\sqrt {2 - x}$$

$$\left\{ \begin{array}{l}\left( {54 - 6x + y} \right)\sqrt {10 - x}  + \left( { - x + 6y - 47} \right)\sqrt {9 - y}  = 0\\\sqrt {2x - y + 6}  + {x^2} = \sqrt { - 2x + y + 11}  + 2x + 66\end{array} \right.$$

$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 2{x^2} - 5 + 2x\sqrt {{x^2} + 1}  = \left( {y + 1} \right)\left( {{x^2} + 2 + 2\sqrt {{y^2} + 2y + 2} } \right)\\{x^2} + 2{y^2} = 2x - 4y + 3\end{array} \right.$

$\sqrt {2x + 1}  + \sqrt[4]{{2x - 1}} - {x^2} + 4x - 2 = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {{x^2} - 2x + 3}$

-------còn nữa----

PT vô tỷ nghiệm kép ( casio )

VD1: $3{x^2} + 42x + 83 = \left( {6x + 42} \right)\sqrt {x + 3}  + \left( {6x + 10} \right)\sqrt {3x + 1}$

Dùng CASIO ta biết pt có nghiệm kép duy nhất x=1

Doán pt có dạng $n{\left( {\sqrt {x + 3}  + ax + b} \right)^2} + m{\left( {\sqrt {3x + 1}  + cx + d} \right)^2} = 0$

Ta phân tích $\left( {6x + 42} \right)\sqrt {x + 3}  = \frac{1}{{12}}.2\left( {3x + 21} \right)12\sqrt {x + 3}$

$$\left( {6x + 10} \right)\sqrt {3x + 1}  = \frac{1}{4}2\left( {3x + 5} \right)4\sqrt {3x + 1}$$

Vậy pt: 

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {3x + 21} \right)}^2} + 144\left( {x + 3} \right)}}{{12}} + \frac{{{{\left( {3x + 5} \right)}^2} + 16\left( {3x + 1} \right)}}{4} - \left( {3{x^2} + 42x + 83} \right)\\ = \frac{1}{{12}}{\left( {3x + 21 - 12\sqrt {x + 3} } \right)^2} + \frac{1}{4}{\left( {3x + 5 - 4\sqrt {3x + 1} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow 0 = \frac{1}{{12}}{\left( {3x + 21 - 12\sqrt {x + 3} } \right)^2} + \frac{1}{4}{\left( {3x + 5 - 4\sqrt {3x + 1} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 21 - 12\sqrt {x + 3}  = 0\\3x + 5 - 4\sqrt {3x + 1}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\end{array}$

Kĩ thuật khai triển biểu thức:

3) Kĩ thuật khai triển biểu thức:

Có những khi ckhai chúng ta cần triển và  rút gọn một biểu thức phức tạp, việc này rất mất thời gian và dễ nhầm lẫn. Casio giúp chúng ta được không ?

VD1: Khai triển rút gọn biểu thức $P = \left( {3x + 1} \right){\left( {2{x^2} + x + 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^4}$

Nhận thấy bậc cao nhất là bậc 7. $P = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_7}{a^7}$

Soạn biểu thức $\frac{{\left( {3x + 1} \right){{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^3} + 2{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}{{{x^7}}}$, bám CACL cho x=1000 ( số lớn ) kết quả được 24,

Vậy ${a_7} = 24$

Sửa lại biểu thức trên: $\frac{{\left( {3x + 1} \right){{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^3} + 2{{\left( {x - 1} \right)}^4} - 24{x^7}}}{{{x^6}}}$, bấm CACL cho x=10000 ta có 44,

Vậy ${a_6} = 44$

……Cứ như vậy ta được $P = 24{x^7} + 44{x^6} + 66{x^5} + 59{x^4} + 32{x^3} + 30{x^2} - 2x + 3$

( Sau mỗi bước nên cho x lớn dần –thêm số 0 cho nhanh )

Kĩ thuật khai triển biểu thức:

Có những khi ckhai chúng ta cần triển và  rút gọn một biểu thức phức tạp, việc này rất mất thời gian và dễ nhầm lẫn. Casio giúp chúng ta được không ?

VD2: Dành cho biểu thức bậc nhỏ nhé

Rút gọn : ${\left( {2{x^2} - 3x + 1} \right)^2}\left( {2 - 3x} \right)$

+Ta soạn biêu thức sau: $\frac{{{{\left( {2{x^2} - 3x + 1} \right)}^2}\left( {2 - 3x} \right) - {\rm{A}}{{\rm{x}}^5} - B{x^4} - C{x^3} - D{x^2} - Ex - F}}{{{x^y}}}$

Tìm A: Bấm CACL, nhập x=10000, A=0,B=0,C=0,D=0,E=0,F=0,Y=5, ta được kq  -11,999, vậy A=-12

Tìm B: Bấm CACL, nhập x=10000,A=-12 ( vừa tìm ), còn lại =0, Y=4 nhé, ta được kq 43,9999, vậy B=44

Tìm C: Bấm CACL, nhập x=1000, A=-12,b=44,c=0,d=0,e=0,f=0,Y=3, ta được kq 0, vậy C=0

….cứ như vậy tìm hết các hệ số A,B,C,D,E,F….

Cuối cùng ta được: $- 12{x^5} + 44{x^4} - 63{x^3} + 44{x^2} - 15x + 2$

Ưu điểm PP này là mỗi bước tính ko cần sửa biểu thức. Các bạn chú ý giá trị x có thể làm sai lệch kết quả của bạn.

VÕ TRỌNG TRÍ

VD2: $3{x^2} + 42x + 83 = \left( {6x + 42} \right)\sqrt {x + 3}  + \left( {6x + 10} \right)\sqrt {3x + 1}$

PT này ta dùng pp bình phương hai vế nhé ( 2 lần ) ta có:

${\left( {{{\left( {3{x^2} + 42x + 83} \right)}^2} - {{\left( {6x + 42} \right)}^2}\left( {x + 3} \right) - {{\left( {6x + 10} \right)}^2}\left( {3x + 1} \right)} \right)^2} - 4{\left( {6x + 42} \right)^2}{\left( {6x + 10} \right)^2}\left( {x + 3} \right)\left( {3x + 1} \right) = 0$

Thử nghiệm phương trình lượng giác:

Thử nghiệm phương trình lượng giác:

PT lượng giác thông thường có vô số nghiệm ( họ nghiệm), làm sao thử hết đây.

VD: Giải phương trình$\sin 2x = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)$

Giải:

 $\begin{array}{l}\sin 2x = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x + \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \pi  - \left( {\frac{\pi }{2} - x + \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{9}\left( {2 + 6k} \right)\\x = \frac{{\pi  + 6k\pi }}{3}\end{array} \right.\end{array}$

Kiểm tra họ nghiệm thứ nhất:

Bấm Mode 7, soạn hàm số $f\left( x \right) = \sin 2\pi \frac{x}{9} - \cos \left( {\pi \frac{x}{9} - \frac{\pi }{6}} \right),$g(x) bỏ qua

Star 2, and 60, step 6 ( vì họ nghiệm dạng 2+6k)

Bấm =, thấy kêt quả là 0 cả thì nghiệm đúng.

Kỉ thuật phân tích nghiệm kép:

. Kỉ thuật phân tích nghiệm kép:

Cơ sở lý thuyết: pt $f\left( x \right) = 0$có nghiệm kép x=a khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) = 0\\f'\left( a \right) = 0\\f''\left( a \right) \ne 0\end{array} \right.$. Khi đó ta phân tích pt về dạng: ${\left( {x - a} \right)^2}.g\left( x \right) = 0$.

VD1: Giải pt: $8\left( {3{x^2} + x + 4} \right)\sqrt {3{x^2} + x}  = 9{x^4} + 6{x^3} + 76{x^2} + 18x + 19$

Phân tích: Soạn pt, bấm máy tính SHIFT SOLVE, ra được x=1, Bấm $\frac{d}{{dx}}\left( {} \right)\left| \begin{array}{l}\\x = 1\end{array} \right.$,được KQ =0. Vậy pt có nghiệm kép x=1.

PT có căn nên ta liên hợp ,  ép tích: $\begin{array}{l}g\left( x \right) = \sqrt {3{x^2} + x}  + ax + b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( 1 \right) = 0\\g'\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + a + b = 0\\\frac{{6 + 1}}{{2\sqrt {3 + 1} }} + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{7}{4}\\b =  - \frac{1}{4}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sqrt {3{x^2} + x}  - \frac{{7x + 1}}{4} \sim 4\sqrt {3{x^2} + x}  - 7x - 1\end{array}$

Vậy ta có: $$\begin{array}{l}2\left( {3{x^2} + x + 4} \right)\left( {4\sqrt {3{x^2} + x}  - 7x - 1} \right) = 9{x^4} + 6{x^3} + 76{x^2} + 18x + 19 + 2\left( {3{x^2} + x + 4} \right)\left( { - 7x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow  - \frac{{2\left( {3{x^2} + x + 4} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt {3{x^2} + x}  + 7x + 1}} = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {9{x^2} - 18x + 11} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\ - \frac{{2\left( {3{x^2} + x + 4} \right)}}{{4\sqrt {3{x^2} + x}  + 7x + 1}} = 9{x^2} - 18x + 11\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}$$

Dễ thấy (*) vô nghiệm vì hai vế trai dấu.

Thực hành: Giải phương trình $36{x^2} + 63x - 18 = 48x\sqrt {3x - 1}  + 4\sqrt {9{x^2} + 3x - 2}$