Kĩ năng phân tích thành nhân tử giải phương trình lượng giác

Kĩ năng phân tích thành nhân tử giải phương trình lượng giác
1) Các phép biến đổi lượng giác thành tích:
Nhóm tổng cùng loại:
$ \begin{gathered}  \cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2} \hfill \\  \cos a - \cos b =- 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2} \hfill \\  \sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2} \hfill \\  \sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2} \hfill \\ \end{gathered}  $
Nhóm nhân đôi, hạ bậc:
$ \begin{gathered}  \sin 2a = 2\sin a.\cos a \hfill \\  \cos 2a = \left( {\cos a + \sin a} \right)\left( {\cos a - \sin a} \right) \hfill \\  1 \pm \sin 2a = {\left( {\sin a \pm \cos a} \right)^2} \hfill \\  1 + \cos 2a = 2{\cos ^2}a \hfill \\  1 - \cos 2a = 2{\sin ^2}a \hfill \\  {\sin ^2}a = 1 - {\cos ^2}a = \left( {1 - \cos a} \right)\left( {1 + \cos a} \right) \hfill \\  {\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = \left( {1 - \sin a} \right)\left( {1 + \sin a} \right) \hfill \\ \end{gathered}  $
Nhóm nhân ba:
$ \begin{gathered}  \sin 3a = 3\sin a - 4{\sin ^3}a = \sin a\left( {3 - 4{{\sin }^2}a} \right) = \sin a\left( {4{{\cos }^2}a - 1} \right) \hfill \\   = \sin a\left( {2\cos a - 1} \right)\left( {2\cos a + 1} \right) \hfill \\ \end{gathered}  $
$ \cos 3a = \cos a\left( {1 - 2\cos a} \right)\left( {1 + 2\cos a} \right) $
$ \sin 3a \pm \cos 3a = \left( {\sin a \mp \cos a} \right)\left( {....} \right) $
$ \begin{gathered}  \sin na = \sin a.\left( {......} \right) \hfill \\  \sin na = \cos a.\left( {...} \right)n\_chan \hfill \\  \cos na = \cos a\left( {....} \right)n\_le \hfill \\  \cos na = \left( {\cos a - \sin a} \right)\left( {\cos a + \sin a} \right).\left( {....} \right)n\_chan \hfill \\ \end{gathered}  $
Tam thức bậc 2: $ f\left( t \right) = a{t^2} + bt + c = a\left( {t - {t_1}} \right)\left( {t - {t_2}} \right) $
II. Luyện tập:
1) Giải phương trình:
a) $ \sin 2x - \sqrt 3 \cos x = 0 $
Nhớ sin2x có nhân tử là cosx, nên áp dụng công thức nhân đôi, ta có:
$ \begin{gathered}  \sin 2x - \sqrt 3 \cos x = 0 \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \sqrt 3 \cos x = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \cos x = 0 \hfill \\  \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}  $
b) $ \sin 3x - 2\sin x = 0 $
Nhớ sin3x ( sinnx) luôn chứa nhân tử là sin x, nên áp dụng công thức nhân 3:
$ \begin{gathered}  pt \Leftrightarrow 3\sin x - 4{\sin ^3}x - 2\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x\left( {1 - 4{{\sin }^2}x} \right) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \sin x = 0 \hfill \\  1 - 4{\sin ^2}x = 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \sin x = 0 \hfill \\  \sin x =  \pm \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}  $
c) $ \sin 4x =  - 2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right) $
Nhớ sin4x chứa cos2x, cos2x lại chứa nhân tử sinx+cosx, vậy ta có pt tích:
$ \begin{gathered}  4\sin x\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right) =  - 2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right) \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \sin x + \cos x = 0 \hfill \\  4\sin x\cos x\left( {\cos x - \sin x} \right) =  - 2\sqrt 2 \left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}  $
Với pt(*), đặt $ \cos x - \sin x = t\left( {\left| t \right| \leqslant \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2} $, khi đó (*) trở thành:
$ 2\left( {1 - {t^2}} \right)t =  - 2\sqrt 2  \Leftrightarrow t = \sqrt 2  $
d) $ \cos x + {\cos ^2}x = {\sin ^3}x $
Nhớ $ {\sin ^3}x $ chứa $ {\sin ^2}x \to 1 + \cos x $, nên đưa về pt tích:
$ \begin{gathered}  pt \Leftrightarrow \cos x\left( {1 + \cos x} \right) = \sin x\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  1 + \cos x = 0 \hfill \\  \cos x - \sin x + \sin x\cos x = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}  $
e) $ \cos 2x + \sin 5x + \sin 3x =  - 1 $
Nhớ 1+cos2x là có công thức lượng giác, vì thế ta nhóm:
$ \begin{gathered}  pt \Leftrightarrow \left( {1 + \cos 2x} \right) + \sin 5x + \sin 3x = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + 2\sin 4x.\cos x = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 2\cos x\left( {1 + \sin 4x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \cos x = 0 \hfill \\  \sin 4x =  - 1 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}  $
f) $ \cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) + \sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0 $
Rõ ràng $ \frac{{\sqrt 3 }}{2} $ là con số nhạy cảm đối với sin và cos, do đó ta có:
$ \begin{gathered}  pt \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin 2x + \sin \frac{\pi }{3} = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \hfill \\  \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}  $
h) $ 1 + \sin x + \cos x + \sin 2x + \cos 2x = 0 $
Nhớ rằng 1+sin2x và cos2x đều chứa nhân tử ( sinx+cosx)
u) $ 9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x - 6 = 0 $
Nhận thấy pt đưa về pt bậc hai đối với sinx và cosx. Do đó ta
Nghĩ tới việc phân tích nhân tử đa thức bậc hai ( 2 ẩn ), coi là tam thức bậc hai một ẩn, tính delta nếu dạng bình phương thì phân tích đẹp. Tuy nhiên khó ở chỗ cos2x chuyển về $ m{\sin ^2}x + n{\cos ^2}x $, với m, n là bao nhiêu cho Delta đẹp đây?Ta có:
 $ 9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x - 8 = 0 $
Dùng casio, solve ta có nghiệm $ x = \frac{\pi }{2} $, nên nhân tử sẽ là $ \left( {\sin x - 1} \right) $
Ta biến đổi như sau:
$ \begin{gathered}  9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x - 8 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow  - 6\cos x\left( {\sin x - 1} \right) + \left( {9\sin x - 2{{\sin }^2}x - 7} \right) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow  - 6\cos x\left( {\sin x - 1} \right) + \left( {\sin x - 1} \right)\left( { - 2\sin x + 7} \right) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \sin x = 1 \hfill \\   - 6\cos x - 2\sin x + 7 = 0\left( {vn} \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered}  $
Bài tập:
$ \begin{gathered}  1)1 + \sin x + \cos 3x = \cos x + \sin 2x + \cos 2x \hfill \\  2)\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x \hfill \\  3)\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\  4)\cos 2x - 3\sin 2x + 5\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{{9\pi }}{4}} \right) = 3 \hfill \\  5)\frac{{{{\tan }^2}x + \tan x}}{{{{\tan }^2}x + 1}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \hfill \\ \end{gathered}  $
$ \begin{gathered}  7)\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x \hfill \\  8)2{\sin ^3}x - \cos 2x + \cos x = 0 \hfill \\  9)2\sin 3x - \frac{1}{{\sin x}} = 2\cos 3x + \frac{1}{{\cos x}} \hfill \\  10)\frac{{{{\cos }^2}x\left( {\cos x - 1} \right)}}{{\sin x + \cos x}} = 2\left( {1 + \sin x} \right) \hfill \\ \end{gathered}  $
$ \begin{gathered}  2\sqrt 2 \cos 2x + \sin 2x.\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) - 4\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \hfill \\  12)2{\sin ^2}x\left( {\sin x + \cos x} \right) = \sqrt 2 \sin 2x - \frac{1}{{\sqrt 2 \sin 4x}} \hfill \\  13){\cos ^3}x + {\sin ^3}x = \sin x - \cos x \hfill \\  14){\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin 2x + \sin x + \cos x \hfill \\  15){\cos ^3}x + {\cos ^2}x + 2\sin x - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered}  $
$ \begin{gathered}  16)\sin x + {\sin ^2}x + {\cos ^3}x = 0 \hfill \\  17)2{\sin ^3}x - \sin x = 2{\cos ^3}x - \cos x + \cos 2x \hfill \\  18)4{\cos ^3}x + 3\sqrt 2 \sin 2x = 8\cos x \hfill \\  19)\sin x + {\sin ^2}x + {\sin ^3}x + {\sin ^4}x = \cos x + {\cos ^2}x + {\cos ^3}x + {\cos ^4}x \hfill \\  20){\cos ^4}\frac{x}{2} - {\sin ^4}\frac{x}{2} = \sin 2x \hfill \\ \end{gathered}  $

$ \begin{gathered}  21)\left( {\sin x + 3} \right){\sin ^4}\frac{x}{2} - \left( {\sin x + 3} \right){\sin ^2}\frac{x}{2} + 1 = 0 \hfill \\  22)2\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}} \hfill \\  23)\frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\sin 2x}} = \frac{2}{{\sin 4x}} \hfill \\  24)\frac{{\sin 5x}}{5} = \frac{{\sin 3x}}{3} \hfill \\  25)2\cos 2x - 8\cos x + 7 = \frac{1}{{\cos x}} \hfill \\ \end{gathered}  $
$ \begin{gathered}  26)\frac{{{{\cos }^2}x\left( {1 + \cot x} \right) - 3}}{{\sin x - \cos x}} = 3\cos x \hfill \\  27){\sin ^3}x\left( {1 - \cot x} \right) + {\cos ^3}x\left( {1 - \tan x} \right) = \frac{3}{2}\cos 2x \hfill \\  28)\cos 2x + 3\sin 2x + 5\sin x - 3\cos x = 3 \hfill \\  29)\sin 4x - \cos 4x = 1 - 4\left( {\sin x - \cos x} \right) \hfill \\  30){\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 2\left( {{{\sin }^8}x + {{\cos }^8}x} \right) \hfill \\ \end{gathered}  $

KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. Kỹ năng đưa phương trình về dạng tích

1. Sử dụng các phép biến đổi Lượng giác và Đại số:

a) Công cụ

- Lượng giác: Công thức cộng. CT Tổng ßà tích; hạ bậc; nhân...

- Đại số: Nhóm, thêm/bớt...

b) Bài tập áp dụng

Bài 1. Sử dụng CT nhân đôi, hạ bậc

[ĐH D2010]  sin2x - cos2x + 3sinx - cosx - 1 = 0.

[ĐH B2010](sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x - sinx = 0

[ĐH B05] <latex>$ 1 + \sin  + \cos x + \sin 2x + \cos 2x = 0 $</latex>

[ĐH D04]<latex>$ \left( {2\cos x - 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) = \sin 2x - \sin x $</latex>

Bài 2. Sử dụng CT tổng à tích, hạ bậc

[ĐH B07] <latex>$ 2{\sin ^2}2x + \sin 7x - 1 = \sin x $</latex>

[ĐH D06] <latex>$ \cos 3x + \cos 2x - \cos x - 1 = 0 $</latex>

[ĐH D02] Tìm <latex>$ x \in \left[ {0;14} \right] $</latex> <latex>$ \cos 3x - 4\cos 2x + 3\cos x - 4 = 0 $</latex>

[ĐH B02]  <latex>$ {\sin ^2}3x - {\cos ^2}4x = {\sin ^2}5x - {\cos ^2}6x $</latex>

Bài 3. Sử dụng CT tích à tổng, CT cộng với các góc ĐB

[ĐH D09] <latex>$ \sqrt 3 \cos 5x - 2\sin 3x\cos 2x - \sin x = 0 $</latex>

[ĐH B09] <latex>$ \sin x + \cos x\sin 2x + \sqrt 3 \cos 3x = 2\left( {\cos 4x + {{\sin }^3}x} \right) $</latex>

[ĐH B08] <latex>$ {\sin ^3}x - \sqrt 3 {\cos ^3}x = \sin x{\cos ^2}x - \sqrt 3 {\sin ^2}x\cos x $</latex>

[ĐH D07] <latex>$ {\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 2 $</latex>

[CĐ 08] <latex>$ \sin 3x - \sqrt 3 \cos 3x = 2\sin 2x $</latex>

Bài 4. Giải các phương trình (BTVN)

sin2x + cos2x - 5cosx - sinx + 3 = 0              

(sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x - sinx = 0

sin7x - 2cos²2x = sinx - 1                               

sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0

<latex>$ 4\sin x.\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) - 4\sqrt 3 .\cos x.{\text{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).{\text{cos}}\left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 2 $</latex>

2. Các công thức ĐB khác   

a) Các công thức ĐB

+) 1 + sin2x = (cosx + sinx)²

+) 1 - sin2x = (cosx - sinx)²

+) cos2x = (cosx – sinx)(cosx + sinx)

+) 1 + sin2x + cos2x = (cosx + sinx)2cosx

+) 1 - sin2x + cos2x = (cosx - sinx)2cosx

+) <latex>$ 1 \pm \operatorname{t} {\text{anx}} = \frac{{\cos x \pm \operatorname{s} {\text{inx}}}}{{\cos x}} $</latex>

+) <latex>$ 1 \pm \cot {\text{x}} = \frac{{\operatorname{s} {\text{inx}} \pm \cos x}}{{\sin x}} $</latex>

+) <latex>$ \sqrt 2 \sin (x \pm \frac{\pi }{4}) = \operatorname{s} {\text{inx}} \pm \cos x $</latex>

+) Các công thức quy gọn góc

b) Bài tập

Bài 1. Giải các phương trình

2 + sin2x + cos2x = 2sin²x

2 + cos2x – sin2x = 2cos²x

[A07] (1 + sin²x)cosx + (1 + cos²x)sinx = 1 + sin2x

[A03] <latex>$ \operatorname{c} {\text{otx}} - 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \operatorname{t} {\text{anx}}}} + {\sin ^2}x - \frac{1}{2}\sin 2x $</latex>

<latex>$ {\text{tanx}} - 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \cot {\text{x}}}} + {\sin ^2}x - \frac{1}{2}\sin 2x $</latex>

Bài 2. Giải các PT

[ĐH D05] <latex>$ {\cos ^4}x + {\sin ^4}x + \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{3}{2} = 0 $</latex>

(1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx

II. Kỹ năng loại nghiệm.

Loại nghiệm bằng đường tròn lượng giác

Loại nghiệm trong quá trình giải

Loại nghiệm bằng PP nghiệm nguyên

Áp dụng

a) Thí dụ minh họa

Thí dụ 1. a) tan3x = tanx        b) tanx.cot3x = 1

Thí dụ 2.

a) <latex>$ {\text{tanx}} = \operatorname{c} {\text{otx}} - \frac{{2\cos 6x}}{{\sin 2x}} $</latex>           b) <latex>$ \operatorname{c} {\text{otx}} = {\text{tanx}} - \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}} $</latex>

b) Bài tập.

1) [ĐH A06] <latex>$ \frac{{2\left( {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} \right) - \sin x\cos x}}{{\sqrt 2  - 2\sin x}} = 0 $</latex>;       

2) [ĐH A03]  <latex>$ \cot x - 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \frac{1}{2}\sin 2x $</latex>

3) [ĐH B03] <latex>$ \cot x - \tan x + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}} $</latex>;                

4) [ĐH A08] <latex>$ \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\sin \left( {x - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}} = 4\sin \left( {\frac{{7\pi }}{4} - x} \right) $</latex>

5) [ĐH A09]  ;                

6) [ĐH A2010]<latex>$ \frac{{\left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right)\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{1 + \tan x}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x $</latex>

7) ĐH B04] <latex>$ 5\sin x - 2 = 3(1 - \sin x){\tan ^2}x $</latex>;                      

8) [ĐH D03] <latex>$ {\sin ^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\tan 2x - {\cos ^2}\frac{x}{2} = 0 $</latex>

9) [ĐH B06] <latex>$ \cot x + \sin x\left( {1 + \tan x\tan \frac{x}{2}} \right) = 4 $</latex>         

10) [ĐH B06] <latex>$ \cot x + \sin x\left( {1 + \tan x\tan \frac{x}{2}} \right) = 4 $</latex>

11) <latex>$ \frac{{{{\sin }^4}x + c{\text{o}}{{\text{s}}^4}x}}{{5\sin 2x}} = \frac{1}{2}\cot 2x - \frac{1}{{8\sin 2x}} $</latex>

11) [ĐH A11] <latex>$ \frac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + {{\cot }^2}x}} = \sqrt 2 \sin x\sin 2x $</latex>