Nếu như pp hàm số, ta tìm hàm đặc trưng f(t) để biến đổi một
pt ( 1 ẩn hay hai ẩn ) về dạng $f\left( a \right) = f\left( b \right)$, chứng
minh hàm f đơn điệu trên một khoảng chứa
a,b thì ta có a=b.
Tuy nhiên thực tế có khi ta ép về dạng hs, nhưng vẫn “thừa”
một biểu thức. Nghĩa là pt có dạng: $m\left[
{f\left( a \right) - f\left( b \right)} \right] + n\left[ {g\left( a \right) -
g\left( b \right)} \right] = 0$ ( với $m
> 0,n > 0$ ) và hàm f và g đều đơn điệu cùng chiều, thì ta vẫn có
a=b.
Thật vậy: Giả sử f và
g cùng đổng biến, nếu a<b thì $\left\{
\begin{array}{l}f\left( a \right) < f\left( b \right)\\f\left( a \right)
< g\left( b \right)\end{array} \right. \Rightarrow m\left[ {f\left( a
\right) - f\left( b \right)} \right] + n\left[ {g\left( a \right) - g\left( b
\right)} \right] < 0$ ( pt ko thỏa mãn ), tương tự a>b cũng không
thỏa mãn. Vậy chỉ có a=b.
Trường hợp đơn giản
nhất là : $m\left[ {f\left( a \right) - f\left(
b \right)} \right] + n\left[ {a - b} \right] = 0$.
VD1: Giải
bất pt: $9{x^3} - 11{x^2} + 10x - 7 \le
\sqrt[3]{{4 - 3x}}$
Nhận thấy số 9 cho ta thấy thừa đi ${x^3}$, ta làm xuất hiện hàm đặc trưng như
sau:
Bên trái có mũ 3, bên phải không có dạng bp của căn. Do đó
hàm đặc trưng ( nếu có ) là $f\left( t \right)
= {t^3} + t$
Ta ép hàm:
$\begin{array}{l}\left( 1
\right) \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^3} + \left( {2x - 1} \right) +
{x^3} + {x^2} - x - 1 \le \left( {4 - 3x} \right) + \sqrt[3]{{4 - 3x}}\\
\Leftrightarrow f\left( {2x - 1} \right) - f\left( {\sqrt[3]{{4 - 3x}}} \right)
+ \left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\end{array}$
Dễ dàng c/m hàm f đồng biến.
Chú ý hàm số : $g\left( x
\right) = 2x - 1 - \sqrt[3]{{4 - 3x}}$ đồng biến, nhận giá trị 0 khi x=1
+Nếu x<1: thì $g\left( 1
\right) \le 0 \Rightarrow 2x - 1 \le \sqrt[3]{{4 - 3x}} \Rightarrow f\left( {2x
- 1} \right) - f\left( {\sqrt[3]{{4 - 3x}}} \right) \le 0$
Và do đó hi$f\left( {2x - 1} \right) - f\left( {\sqrt[3]{{4 -
3x}}} \right) + \left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} \le 0$
( hay bpt nhận $x \le 1$ là nghiệm )
+Nếu x>1: Rõ ràng bđt đổi chiều, do đó bpt ko thỏa mãn.
Tóm lại nghiệm bpt là $x \le 1$
VD2: \[{x^6} + {x^4} =
\left( {{x^3} + {x^2} + 2x - 1 - x\sqrt {2x - 1} } \right)\sqrt {2x - 1} \]
Giải:
\[\begin{array}{l}{x^6} +
{x^4} = \left( {{x^3} + {x^2} + 2x - 1 - x\sqrt {2x - 1} } \right)\sqrt {2x -
1} \\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + x + {x^2} - \sqrt {2x - 1} = \frac{{{{\sqrt {2x - 1} }^3} - x{{\sqrt {2x
- 1} }^2} + {x^2}\sqrt {2x - 1} }}{{{x^3}}}\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + x
+ x\left( {x - \frac{{\sqrt {2x - 1} }}{x}} \right) = {\left( {\frac{{\sqrt {2x
- 1} }}{x}} \right)^3} - {\left( {\frac{{\sqrt {2x - 1} }}{x}} \right)^2} +
\left( {\frac{{\sqrt {2x - 1} }}{x}} \right)\end{array}\]
Với đk : $x \ge \frac{1}{2}$, hàm số $f\left( t \right) = {t^3} - {t^2} + t \Rightarrow
f'\left( t \right) = 3{t^2} - 2t + 1 > 0$ hàm số đổng biến.
Mà pt trên có dạng: $f\left(
a \right) + x\left( {a - b} \right) = f\left( b \right) \Leftrightarrow a = b$…..
VD3: Giải
hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}\left(
{2xy - 1} \right)\left( {4{x^2}{y^2} - 4xy + x + y + 2} \right) = 2\left( {x +
y} \right)\sqrt {x + y - 1} \\4{x^2}{y^2} - x - y = 3\sqrt {x + y - 1} - 1\end{array} \right.$
Giải: PT1
tương đương
$\begin{array}{l}\left( {2xy
- 1} \right)\left( {4{x^2}{y^2} - 4xy + 1 + x + y + 1} \right) = 2\left( {x +
y} \right)\sqrt {x + y - 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {2xy - 1} \right)^3} +
\left( {2xy - 1} \right) + \left( {x + y} \right)\left( {2xy - 1} \right) =
2\left( {x + y} \right)\sqrt {x + y - 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {2xy - 1}
\right)^3} + \left( {2xy - 1} \right) + \left( {x + y} \right)\left( {2xy - 1 -
\sqrt {x + y - 1} } \right) = \left( {x + y - 1 + 1} \right)\sqrt {x + y - 1}
\\ \Leftrightarrow f\left( a \right) + \left( {x + y} \right)\left( {a - b}
\right) = f\left( b \right)\\ \Leftrightarrow a = b\\ \Leftrightarrow 2xy - 1 =
\sqrt {x + y - 1} \Rightarrow 2xy = 1 +
\sqrt {x + y - 1} \end{array}$
Thay vào pt2 ta có: ${\left(
{1 + \sqrt {x + y - 1} } \right)^2} - x - y = 3\sqrt {x + y - 1} - 1 \Leftrightarrow y = 2 - x$
Thay vào ta lại có: $2x\left(
{2 - x} \right) - 1 = 1 \Leftrightarrow
- 2{x^2} + 4x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = y = 1$
Bài tập tương tự:
$2{x^3} - 13{x^2} + 31x - 41
= \left( {2{x^2} - 8x + 3 + \left( {4 - x} \right)\sqrt[3]{{5 - x}}}
\right)\sqrt[3]{{5 - x}}$
$\left\{ \begin{array}{l}\left(
{4{x^2} + 1} \right)x + \left( {4{x^2} + 3y - 8} \right)\sqrt {5 - 2y} = 0\\\sqrt {5 - 2y} + \sqrt {y + \frac{1}{2}} = 3x\end{array} \right.$
$\left( {{x^3} - x + 1}
\right)\left( {x + 1} \right) + \left( {{x^3} - 3x} \right)\sqrt[3]{{2x - 1}} =
0$
\[3x - 3 + \left(
{\frac{{2{x^2} - 8x + 1}}{{2{x^2} - 7x + 3}}} \right)\sqrt[3]{{2x - 1}} =
\left( {\frac{{{x^2} - 6x + 10}}{{3 - x}}} \right)\sqrt {2 - x} \]
\[\left\{ \begin{array}{l}\left(
{54 - 6x + y} \right)\sqrt {10 - x} +
\left( { - x + 6y - 47} \right)\sqrt {9 - y}
= 0\\\sqrt {2x - y + 6} + {x^2} =
\sqrt { - 2x + y + 11} + 2x + 66\end{array}
\right.\]
$\left\{ \begin{array}{l}{x^3}
+ 2{x^2} - 5 + 2x\sqrt {{x^2} + 1} =
\left( {y + 1} \right)\left( {{x^2} + 2 + 2\sqrt {{y^2} + 2y + 2} } \right)\\{x^2}
+ 2{y^2} = 2x - 4y + 3\end{array} \right.$
$\sqrt {2x + 1} + \sqrt[4]{{2x - 1}} - {x^2} + 4x - 2 = \sqrt
{x - 1} + \sqrt {{x^2} - 2x + 3} $
-------còn nữa----
