PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG


 Bài 72: Cho tam giác nhọn ABC, BE và CD là hai phân giác trong góc B và góc C. Cho biết $B\left( {1; - 2} \right),D\left( {\frac{{21}}{{11}};3} \right)$, điểm E có hoành độ lớn hơn 5 và$DE = \frac{{25\sqrt {55} }}{{11}}$, đường thẳng AC có hệ số góc $k =  - \frac{1}{2}$. Tìm tọa độ điểm A và C. 
 Xem VIDEO chữa tại đây

Chứng minh bài toán hình học bằng phương pháp véc tơ

Buổi 4: Chứng minh bài toán hình học bằng phương pháp véc tơ

-Chọn 2 véc tơ ( ko cùng phương ) làm hai véc tơ cơ sở

-Biểu diễn các véc tơ liên quan qua hai véc tơ cơ sở

-Chứng minh các tính chất hình học bằng các phép tính qua véc tơ cơ sở

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD. M và N là trung điểm CD và CB. Chứng minh: $AM \bot DN$

Giải: Chọn hai véc tơ cơ sở là $\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b  = \overrightarrow {AD}  \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0,\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = AB = m$.

Ta có: $\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DM}  = \overrightarrow b  + \frac{1}{2}\overrightarrow a $, $\overrightarrow {DN}  = \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow a  - \frac{1}{2}\overrightarrow b $

Để c/m vuông góc , ta chứng minh tích vô hướng của hai véc tơ bằng 0.

Ta có: $\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DN}  = \left( {\overrightarrow b  + \frac{1}{2}\overrightarrow a } \right)\left( {\overrightarrow a  - \frac{1}{2}\overrightarrow b } \right) = \overrightarrow b .\overrightarrow a  - \frac{1}{2}{\overrightarrow b ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow a ^2} - \frac{1}{4}\overrightarrow a .\overrightarrow b \\ = 0 - \frac{1}{2}{m^2} + \frac{1}{2}{m^2} - 0 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow {DN}  \Rightarrow AM \bot DN\left( {dpcm} \right)\end{array}$

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. D là trung điểm AC và K, E là tâm đường tròn ng tiếp tam giác ABC và trọng tâm tam giác ABD. Chứng minh: $KE \bot BD$.

Giải: Gọi H là trung điểm BC, chọn hai véc tơ cơ sở là $\overrightarrow a  = \overrightarrow {HC} ,\overrightarrow b  = \overrightarrow {HA} $

Ta có: $\begin{array}{l}\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BH}  + \overrightarrow {HA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \\ = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HC} } \right) = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \frac{1}{2}\left( { - \overrightarrow b  + \overrightarrow a } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow a  + \frac{1}{2}\overrightarrow b \end{array}$

Ta có:

 $\begin{array}{l}\Delta AKD \sim \Delta ACH \Rightarrow \frac{{AK}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AH}}\\ \Rightarrow AK = AC.\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{1}{2}.\frac{{A{C^2}}}{{AH}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2b}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2{b^2}}}.HA \Rightarrow \overrightarrow {AK}  =  - \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2{b^2}}}\overrightarrow b \end{array}$

Vậy: $\overrightarrow {KE}  = \overrightarrow {KD}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow a  = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2{b^2}}}.\overrightarrow b  + \frac{1}{2}\left( { - \overrightarrow b  + \overrightarrow a } \right) - \frac{2}{3}\overrightarrow a $$ =  - \frac{1}{6}\overrightarrow a  + \left( {\frac{{{a^2}}}{{2{b^2}}}} \right)\overrightarrow b $

Ta có: $\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {KE}  = \left( {\frac{3}{2}\overrightarrow a  + \frac{1}{2}\overrightarrow b } \right)\left( { - \frac{1}{6}\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{2{b^2}}}.\overrightarrow b } \right) =  - \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{2}.\frac{{{a^2}}}{{2{b^2}}}{b^2} = 0 \Rightarrow BD \bot KE\left( {dpcm} \right)$

Ví dụ 3:  Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD, lấy M, N lần lượt là trung điểm các cạnh HB, CD. Chứng minh rằng: $AM \bot MN$.

Giải: Chọn hai véc tơ cơ sở là $\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b  = \overrightarrow {AD} $, độ dài tương ứng của chúng là a, b.

Để biểu diễn các véc tơ $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {MN} $qua hai véc tơ cơ sở, ta cần biểu diễn véc tơ $\overrightarrow {AH} $trước. Ta có: $\begin{array}{l}\frac{{A{D^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{DH.DB}}{{BH.DB}} = \frac{{DH}}{{BH}} \Rightarrow \frac{{DH}}{{BH}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\\ \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow {AB}  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow {AD}  = \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b \end{array}$

Khi đó: $\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b  + \overrightarrow a } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right)$

$\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow a  + \overrightarrow b ,\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2}\left( { - \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right)$

T a có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right).\frac{1}{2}\left( { - \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a  + \frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right)\\ = \frac{1}{4}\left( { - \frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.{a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.{b^2}} \right) = \frac{{ - {a^4}{b^2} - 2{b^4}{a^2} + 2{b^2}{a^4} + {a^4}{b^2}}}{{4{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} = 0\end{array}$

Vậy $AM \bot MN\left( {dpcm} \right)$.

Bài tập:

1. Cho hình vuông ABCD, lấy N thuộc BD sao cho BN=3ND. M là trung điểm AB. Chứng minh tam giác MNC vuông cân.

2.  Cho hình thang vuông ABCD (A=D=90⁰), CD=2AB. Kẻ DH vuông góc với AC, M là trung điểm HC. Chứng minh tam giác DBM vuông.

3.  Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm BC, E là hình chiếu vuông góc của D trên AC, F là trung điểm DE. Chứng minh: AF vuông góc với BE.

Giải bài toán hình học bằng phương pháp TỌA ĐỘ

Buổi 5: Chứng minh bài toán hình học bằng phương pháp TỌA ĐỘ

Nhiều bài toán hình học chứng minh bằng pp lớp 8,9 rất khó khăn , ở lớp 10 chúng ta còn có thể giải bằng phương pháp tọa độ, đặc biệt các bài toán về hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, tam giác cân, đều, tam giác vuông ,….Với các yêu  cầu chứng minh : vuông góc, thẳng hàng, song song, bằng nhau,…

Quy trình:

-Chọn hệ trục tọa độ phù hợp ( hai đt vuông góc với nhau )

-Tính tọa độ các điểm liên quan

-Giải bài toán theo yêu cầu hình học bằng tọa độ

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD. M và N là trung điểm CD và CB. Chứng minh: $AM \bot DN$

Chọn hệ trục Oxy, với trục Ox là AB, trục Oy là AD. Gọi độ dài hình vuông là a.

Ta có: $A\left( {0;0} \right),B\left( {1;0} \right),C\left( {1;1} \right),D\left( {0;1} \right)$

Suy ra: $M\left( {\frac{1}{2};1} \right),N\left( {1;\frac{1}{2}} \right)$

Ta có: \[\overrightarrow {AM}  = \left( {\frac{1}{2};1} \right),\overrightarrow {DN}  = \left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\]

Ta có: $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DN}  = \frac{1}{2}.1 + 1.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0 \Rightarrow AM \bot DN$

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. D là trung điểm AC và K, E là tâm đường tròn ng tiếp tam giác ABC và trọng tâm tam giác ABD. Chứng minh: $KE \bot BD$.

Giải: Gọi H là trung điểm BC, chọn hệ trucj Oxy với Ox là HC, Oy là HA.

Đặt HC=a, HA=b. Ta có: $A\left( {0;b} \right),B\left( { - a;0} \right),C\left( {a;0} \right) \Rightarrow D\left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2}} \right)$

E là trọng tâm tam giác ABD, nên tọa độ E là: $E\left( { - \frac{a}{6};\frac{b}{2}} \right)$

Do tam giác ABC cân tại A, nên tâm ngoại tiếp K thuộc Oy.

Đt DK  đi qua D nhận véc tơ $\overrightarrow {AC}  = \left( {a; - b} \right)$ có pt: $a\left( {x - \frac{a}{2}} \right) - b\left( {y - \frac{b}{2}} \right) = 0$

K là giao điểm của đt DK với trục Oy: $K\left( {0;\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}}} \right)$

Ta lại có: $\overrightarrow {BD}  = \left( {\frac{{3a}}{2};\frac{b}{2}} \right),\overrightarrow {EK}  = \left( {\frac{a}{6};\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} - \frac{b}{2}} \right)$

Suy ra: $\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {EK}  = \frac{{3a}}{2}.\frac{a}{6} + \frac{b}{2}\left( {\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} - \frac{b}{2}} \right) = 0$ nên  $KE \bot BD$

Ví dụ 3:  Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD, lấy M, N lần lượt là trung điểm các cạnh HB, CD. Chứng minh rằng: $AM \bot MN$.

Giải: Ta chọn hệ trục Oxy với Ox là AB, Oy là AD. Đặt AB=a,AD=b. Dễ dàng tính được : $A\left( {0;0} \right),B\left( {a;0} \right),C\left( {a;b} \right),D\left( {0;b} \right) \Rightarrow N\left( {\frac{a}{2};b} \right)$

Tìm tọa độ H:  Viết pt DB và pt AH ta sẽ tìm giao điểm H. Tuy nhiên ta có thể tính trực tiếp:

Theo talet: $\frac{{{x_H}}}{a} = \frac{{DH}}{{DB}} = \frac{{DH.DB}}{{D{B^2}}} = \frac{{A{D^2}}}{{D{B^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \Rightarrow {x_H} = \frac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}$

Tương tự ta có: $H\left( {\frac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}};\frac{{b{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)$ suy ra$M\left( {\frac{{a\left( {{a^2} + 2{b^2}} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}};\frac{{b{a^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NM}  = \frac{{a\left( {{a^2} + 2{b^2}} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}\left( {\frac{{a\left( {{a^2} + 2{b^2}} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} - \frac{a}{2}} \right) + \frac{{b{a^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}\left( {\frac{{b{a^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} - b} \right) = 0$

Vậy $AM \bot MN\left( {dpcm} \right)$.

Bài tập:

1. Cho hình vuông ABCD, lấy N thuộc BD sao cho BN=3ND. M là trung điểm AB. Chứng minh tam giác MNC vuông cân.

2.  Cho hình thang vuông ABCD (A=D=90⁰), CD=2AB. Kẻ DH vuông góc với AC, M là trung điểm HC. Chứng minh tam giác DBM vuông.

3.  Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm BC, E là hình chiếu vuông góc của D trên AC, F là trung điểm DE. Chứng minh: AF vuông góc với BE.