Cách tìm nghiệm bội ( dành cho học sinh chưa học đạo hàm )

Nếu pt f(x)=0 có nghiệm x=a bội n , thì ta phân tích được $f\left( x \right) = {\left( {x - a} \right)^n}.g\left( x \right)$ với $g\left( a \right) \ne 0$

Khi đó ta có ::$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x - a} \right)}^m}}} = \left\{ \begin{array}{l}n{\rm{    neu }}m = n\\0{\rm{    neu }}m < n\\\infty {\rm{   neu }}m > n\end{array} \right.$

Để tính lim khi x->a ta cho x giá trị “rất gần a” , kết quả rất nhỏ ( tức là =0) , rất lớn ( tức là = vô cùng), vừa phải tức là bằng 1 số.

Ví dụ: $\left( {{x^3} + 12x + 3} \right)\sqrt {3x + 1}  + {x^3} - 18{x^2} - 9x - 6 = 0$

B1: Soạn biểu thức VT, bấm dấu =,= ( để lưu VT)

B2: Solve , ra nghiệm x=1

B3: Sửa biểu thức dạng $\frac{{\left( {{x^3} + 12x + 3} \right)\sqrt {3x + 1}  + {x^3} - 18{x^2} - 9x - 6}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^A}}}$

Bấm CACL, nhập x=0,9999 ( rất gần nghiệm x=1), và A=2, ta có KQ $ - \frac{{21}}{{50000}} \approx 0$ ( vậy tức x=1 là nghiệm bội n>2

Bấm CACL, nhập x=0,9999 ( rất gần nghiệm x=1), và A=3, ta có KQ $\frac{{21}}{5}$ ( vậy tức x=1 là nghiệm bội n=3)

Bấm CACL, nhập x=0,9999 ( rất gần nghiệm x=1), và A=4, ta có KQ -42000( $ - \infty $) . Đến đây ta khẳng định pt có nghiệm x=1 bội 3

( Chú ý: việc cho x=0,9999..hay x=1,00001 mấy số 9 , mấy số 0 tùy vào bài và các bạn nên thử thay đổi khi kết quả =0)

Giải: Bây giờ ta ép tích ra thôi…$\left( 1 \right) \Leftrightarrow $ ${\left( {x - 1} \right)^3}\left[ {2 + \sqrt {3x + 1}  + \frac{{ - {x^3}}}{{{{\left( {\sqrt {3x + 1}  + x + 1} \right)}^3}}}} \right] = 0$

PT vô tỷ nghiệm kép ( casio )

VD1: $3{x^2} + 42x + 83 = \left( {6x + 42} \right)\sqrt {x + 3}  + \left( {6x + 10} \right)\sqrt {3x + 1} $

Dùng CASIO ta biết pt có nghiệm kép duy nhất x=1

Doán pt có dạng $n{\left( {\sqrt {x + 3}  + ax + b} \right)^2} + m{\left( {\sqrt {3x + 1}  + cx + d} \right)^2} = 0$

Ta phân tích $\left( {6x + 42} \right)\sqrt {x + 3}  = \frac{1}{{12}}.2\left( {3x + 21} \right)12\sqrt {x + 3} $

\[\left( {6x + 10} \right)\sqrt {3x + 1}  = \frac{1}{4}2\left( {3x + 5} \right)4\sqrt {3x + 1} \]

Vậy pt: 

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {3x + 21} \right)}^2} + 144\left( {x + 3} \right)}}{{12}} + \frac{{{{\left( {3x + 5} \right)}^2} + 16\left( {3x + 1} \right)}}{4} - \left( {3{x^2} + 42x + 83} \right)\\ = \frac{1}{{12}}{\left( {3x + 21 - 12\sqrt {x + 3} } \right)^2} + \frac{1}{4}{\left( {3x + 5 - 4\sqrt {3x + 1} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow 0 = \frac{1}{{12}}{\left( {3x + 21 - 12\sqrt {x + 3} } \right)^2} + \frac{1}{4}{\left( {3x + 5 - 4\sqrt {3x + 1} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 21 - 12\sqrt {x + 3}  = 0\\3x + 5 - 4\sqrt {3x + 1}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\end{array}$

Kĩ thuật khai triển biểu thức:

3) Kĩ thuật khai triển biểu thức:

Có những khi ckhai chúng ta cần triển và  rút gọn một biểu thức phức tạp, việc này rất mất thời gian và dễ nhầm lẫn. Casio giúp chúng ta được không ?

VD1: Khai triển rút gọn biểu thức $P = \left( {3x + 1} \right){\left( {2{x^2} + x + 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^4}$

Nhận thấy bậc cao nhất là bậc 7. $P = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_7}{a^7}$

Soạn biểu thức $\frac{{\left( {3x + 1} \right){{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^3} + 2{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}{{{x^7}}}$, bám CACL cho x=1000 ( số lớn ) kết quả được 24,

Vậy ${a_7} = 24$

Sửa lại biểu thức trên: $\frac{{\left( {3x + 1} \right){{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^3} + 2{{\left( {x - 1} \right)}^4} - 24{x^7}}}{{{x^6}}}$, bấm CACL cho x=10000 ta có 44,

Vậy ${a_6} = 44$

……Cứ như vậy ta được $P = 24{x^7} + 44{x^6} + 66{x^5} + 59{x^4} + 32{x^3} + 30{x^2} - 2x + 3$

( Sau mỗi bước nên cho x lớn dần –thêm số 0 cho nhanh )

Kĩ thuật khai triển biểu thức:

Có những khi ckhai chúng ta cần triển và  rút gọn một biểu thức phức tạp, việc này rất mất thời gian và dễ nhầm lẫn. Casio giúp chúng ta được không ?

VD2: Dành cho biểu thức bậc nhỏ nhé

Rút gọn : ${\left( {2{x^2} - 3x + 1} \right)^2}\left( {2 - 3x} \right)$

+Ta soạn biêu thức sau: $\frac{{{{\left( {2{x^2} - 3x + 1} \right)}^2}\left( {2 - 3x} \right) - {\rm{A}}{{\rm{x}}^5} - B{x^4} - C{x^3} - D{x^2} - Ex - F}}{{{x^y}}}$

Tìm A: Bấm CACL, nhập x=10000, A=0,B=0,C=0,D=0,E=0,F=0,Y=5, ta được kq  -11,999, vậy A=-12

Tìm B: Bấm CACL, nhập x=10000,A=-12 ( vừa tìm ), còn lại =0, Y=4 nhé, ta được kq 43,9999, vậy B=44

Tìm C: Bấm CACL, nhập x=1000, A=-12,b=44,c=0,d=0,e=0,f=0,Y=3, ta được kq 0, vậy C=0

….cứ như vậy tìm hết các hệ số A,B,C,D,E,F….

Cuối cùng ta được: $ - 12{x^5} + 44{x^4} - 63{x^3} + 44{x^2} - 15x + 2$

Ưu điểm PP này là mỗi bước tính ko cần sửa biểu thức. Các bạn chú ý giá trị x có thể làm sai lệch kết quả của bạn.

VÕ TRỌNG TRÍ

VD2: $3{x^2} + 42x + 83 = \left( {6x + 42} \right)\sqrt {x + 3}  + \left( {6x + 10} \right)\sqrt {3x + 1} $

PT này ta dùng pp bình phương hai vế nhé ( 2 lần ) ta có:

${\left( {{{\left( {3{x^2} + 42x + 83} \right)}^2} - {{\left( {6x + 42} \right)}^2}\left( {x + 3} \right) - {{\left( {6x + 10} \right)}^2}\left( {3x + 1} \right)} \right)^2} - 4{\left( {6x + 42} \right)^2}{\left( {6x + 10} \right)^2}\left( {x + 3} \right)\left( {3x + 1} \right) = 0$

Thử nghiệm phương trình lượng giác:

Thử nghiệm phương trình lượng giác:

PT lượng giác thông thường có vô số nghiệm ( họ nghiệm), làm sao thử hết đây.

VD: Giải phương trình$\sin 2x = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)$

Giải:

 $\begin{array}{l}\sin 2x = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x + \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \pi  - \left( {\frac{\pi }{2} - x + \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{9}\left( {2 + 6k} \right)\\x = \frac{{\pi  + 6k\pi }}{3}\end{array} \right.\end{array}$

Kiểm tra họ nghiệm thứ nhất:

Bấm Mode 7, soạn hàm số $f\left( x \right) = \sin 2\pi \frac{x}{9} - \cos \left( {\pi \frac{x}{9} - \frac{\pi }{6}} \right),$g(x) bỏ qua

Star 2, and 60, step 6 ( vì họ nghiệm dạng 2+6k)

Bấm =, thấy kêt quả là 0 cả thì nghiệm đúng.

Kỉ thuật phân tích nghiệm kép:

. Kỉ thuật phân tích nghiệm kép:

Cơ sở lý thuyết: pt $f\left( x \right) = 0$có nghiệm kép x=a khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) = 0\\f'\left( a \right) = 0\\f''\left( a \right) \ne 0\end{array} \right.$. Khi đó ta phân tích pt về dạng: ${\left( {x - a} \right)^2}.g\left( x \right) = 0$.

VD1: Giải pt: $8\left( {3{x^2} + x + 4} \right)\sqrt {3{x^2} + x}  = 9{x^4} + 6{x^3} + 76{x^2} + 18x + 19$

Phân tích: Soạn pt, bấm máy tính SHIFT SOLVE, ra được x=1, Bấm $\frac{d}{{dx}}\left( {} \right)\left| \begin{array}{l}\\x = 1\end{array} \right.$,được KQ =0. Vậy pt có nghiệm kép x=1.

PT có căn nên ta liên hợp ,  ép tích: $\begin{array}{l}g\left( x \right) = \sqrt {3{x^2} + x}  + ax + b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( 1 \right) = 0\\g'\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + a + b = 0\\\frac{{6 + 1}}{{2\sqrt {3 + 1} }} + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{7}{4}\\b =  - \frac{1}{4}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sqrt {3{x^2} + x}  - \frac{{7x + 1}}{4} \sim 4\sqrt {3{x^2} + x}  - 7x - 1\end{array}$

Vậy ta có: \[\begin{array}{l}2\left( {3{x^2} + x + 4} \right)\left( {4\sqrt {3{x^2} + x}  - 7x - 1} \right) = 9{x^4} + 6{x^3} + 76{x^2} + 18x + 19 + 2\left( {3{x^2} + x + 4} \right)\left( { - 7x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow  - \frac{{2\left( {3{x^2} + x + 4} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt {3{x^2} + x}  + 7x + 1}} = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {9{x^2} - 18x + 11} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\ - \frac{{2\left( {3{x^2} + x + 4} \right)}}{{4\sqrt {3{x^2} + x}  + 7x + 1}} = 9{x^2} - 18x + 11\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\]

Dễ thấy (*) vô nghiệm vì hai vế trai dấu.

Thực hành: Giải phương trình $36{x^2} + 63x - 18 = 48x\sqrt {3x - 1}  + 4\sqrt {9{x^2} + 3x - 2} $