Buổi 4: Chứng minh
bài toán hình học bằng phương pháp véc tơ
-Chọn 2 véc tơ ( ko
cùng phương ) làm hai véc tơ cơ sở
-Biểu diễn các véc tơ
liên quan qua hai véc tơ cơ sở
-Chứng minh các tính
chất hình học bằng các phép tính qua véc tơ cơ sở
Giải: Chọn hai véc tơ cơ sở là $\overrightarrow a
= \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow a
.\overrightarrow b = 0,\left|
{\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = AB = m$.
Ta có: $\overrightarrow
{AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DM} = \overrightarrow b + \frac{1}{2}\overrightarrow a $, $\overrightarrow {DN}
= \overrightarrow {DC} +
\overrightarrow {CN} = \overrightarrow
a - \frac{1}{2}\overrightarrow b $
Để c/m vuông góc , ta chứng minh tích vô hướng của hai véc
tơ bằng 0.
Ta có: $\begin{array}{l}\overrightarrow
{AM} .\overrightarrow {DN} = \left(
{\overrightarrow b +
\frac{1}{2}\overrightarrow a } \right)\left( {\overrightarrow a - \frac{1}{2}\overrightarrow b } \right) =
\overrightarrow b .\overrightarrow a -
\frac{1}{2}{\overrightarrow b ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow a ^2} -
\frac{1}{4}\overrightarrow a .\overrightarrow b \\ = 0 - \frac{1}{2}{m^2} +
\frac{1}{2}{m^2} - 0 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {DN} \Rightarrow AM \bot DN\left( {dpcm} \right)\end{array}$
Giải: Gọi H
là trung điểm BC, chọn hai véc tơ cơ sở là $\overrightarrow a
= \overrightarrow {HC} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {HA} $
Ta có: $\begin{array}{l}\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \\ =
\overrightarrow a + \overrightarrow
b + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow
{AH} + \overrightarrow {HC} } \right) =
\overrightarrow a + \overrightarrow
b + \frac{1}{2}\left( { -
\overrightarrow b + \overrightarrow a }
\right) = \frac{3}{2}\overrightarrow a +
\frac{1}{2}\overrightarrow b \end{array}$
Ta có:
$\begin{array}{l}\Delta
AKD \sim \Delta ACH \Rightarrow \frac{{AK}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AH}}\\
\Rightarrow AK = AC.\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{1}{2}.\frac{{A{C^2}}}{{AH}} = \frac{{{a^2}
+ {b^2}}}{{2b}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2{b^2}}}.HA \Rightarrow
\overrightarrow {AK} = - \frac{{{a^2} +
{b^2}}}{{2{b^2}}}\overrightarrow b \end{array}$
Vậy: $\overrightarrow {KE}
= \overrightarrow {KD} +
\overrightarrow {DE} = \overrightarrow
{KA} + \overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow a = \frac{{{a^2} +
{b^2}}}{{2{b^2}}}.\overrightarrow b +
\frac{1}{2}\left( { - \overrightarrow b
+ \overrightarrow a } \right) - \frac{2}{3}\overrightarrow a $$ = - \frac{1}{6}\overrightarrow a + \left( {\frac{{{a^2}}}{{2{b^2}}}}
\right)\overrightarrow b $
Ta có: $\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {KE} = \left( {\frac{3}{2}\overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow b }
\right)\left( { - \frac{1}{6}\overrightarrow a
+ \frac{{{a^2}}}{{2{b^2}}}.\overrightarrow b } \right) = - \frac{1}{4}{a^2} +
\frac{1}{2}.\frac{{{a^2}}}{{2{b^2}}}{b^2} = 0 \Rightarrow BD \bot KE\left(
{dpcm} \right)$
Giải: Chọn hai véc tơ cơ sở
là $\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow
b = \overrightarrow {AD} $, độ dài tương ứng của chúng là a, b.
Để biểu diễn các véc tơ $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {MN} $qua hai véc tơ cơ sở, ta cần biểu diễn véc tơ $\overrightarrow {AH} $trước. Ta có: $\begin{array}{l}\frac{{A{D^2}}}{{A{B^2}}}
= \frac{{DH.DB}}{{BH.DB}} = \frac{{DH}}{{BH}} \Rightarrow \frac{{DH}}{{BH}} =
\frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\\ \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2} +
{b^2}}}.\overrightarrow {AB} +
\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow {AD} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2} +
{b^2}}}.\overrightarrow a +
\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b \end{array}$
Khi đó: $\overrightarrow {AM}
= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AB} } \right) =
\frac{1}{2}\left( {\frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow
b + \overrightarrow a } \right) =
\frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow
a + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} +
{b^2}}}.\overrightarrow b } \right)$
$\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} = \frac{1}{2}\overrightarrow a + \overrightarrow b ,\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow a + \overrightarrow b - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} +
2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a
+ \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2}\left(
{ - \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow a + \frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} +
{b^2}}}.\overrightarrow b } \right)$
T a có:
$\begin{array}{l}\overrightarrow
{AM} .\overrightarrow {MN} =
\frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow
a + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} +
{b^2}}}.\overrightarrow b } \right).\frac{1}{2}\left( { - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}
+ {b^2}}}.\overrightarrow a +
\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.\overrightarrow b } \right)\\ =
\frac{1}{4}\left( { - \frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} +
{b^2}}}.\frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.{a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} +
{b^2}}}.\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.{b^2}} \right) = \frac{{ -
{a^4}{b^2} - 2{b^4}{a^2} + 2{b^2}{a^4} + {a^4}{b^2}}}{{4{{\left( {{a^2} +
{b^2}} \right)}^2}}} = 0\end{array}$
Vậy $AM \bot MN\left( {dpcm} \right)$.
Bài tập:
1. Cho hình vuông ABCD, lấy N
thuộc BD sao cho BN=3ND. M là trung điểm AB. Chứng minh tam giác MNC vuông cân.
2. Cho hình thang vuông ABCD (A=D=900),
CD=2AB. Kẻ DH vuông góc với AC, M là trung điểm HC. Chứng minh tam giác DBM
vuông.
3. Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm
BC, E là hình chiếu vuông góc của D trên AC, F là trung điểm DE. Chứng minh: AF
vuông góc với BE.
