Cách tìm nghiệm bội ( dành cho học sinh chưa học đạo hàm )

Nếu pt f(x)=0 có nghiệm x=a bội n , thì ta phân tích được $f\left( x \right) = {\left( {x - a} \right)^n}.g\left( x \right)$ với $g\left( a \right) \ne 0$

Khi đó ta có ::$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x - a} \right)}^m}}} = \left\{ \begin{array}{l}n{\rm{    neu }}m = n\\0{\rm{    neu }}m < n\\\infty {\rm{   neu }}m > n\end{array} \right.$

Để tính lim khi x->a ta cho x giá trị “rất gần a” , kết quả rất nhỏ ( tức là =0) , rất lớn ( tức là = vô cùng), vừa phải tức là bằng 1 số.

Ví dụ: $\left( {{x^3} + 12x + 3} \right)\sqrt {3x + 1}  + {x^3} - 18{x^2} - 9x - 6 = 0$

B1: Soạn biểu thức VT, bấm dấu =,= ( để lưu VT)

B2: Solve , ra nghiệm x=1

B3: Sửa biểu thức dạng $\frac{{\left( {{x^3} + 12x + 3} \right)\sqrt {3x + 1}  + {x^3} - 18{x^2} - 9x - 6}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^A}}}$

Bấm CACL, nhập x=0,9999 ( rất gần nghiệm x=1), và A=2, ta có KQ $- \frac{{21}}{{50000}} \approx 0$ ( vậy tức x=1 là nghiệm bội n>2

Bấm CACL, nhập x=0,9999 ( rất gần nghiệm x=1), và A=3, ta có KQ $\frac{{21}}{5}$ ( vậy tức x=1 là nghiệm bội n=3)

Bấm CACL, nhập x=0,9999 ( rất gần nghiệm x=1), và A=4, ta có KQ -42000( $- \infty$) . Đến đây ta khẳng định pt có nghiệm x=1 bội 3

( Chú ý: việc cho x=0,9999..hay x=1,00001 mấy số 9 , mấy số 0 tùy vào bài và các bạn nên thử thay đổi khi kết quả =0)

Giải: Bây giờ ta ép tích ra thôi…$\left( 1 \right) \Leftrightarrow$ ${\left( {x - 1} \right)^3}\left[ {2 + \sqrt {3x + 1}  + \frac{{ - {x^3}}}{{{{\left( {\sqrt {3x + 1}  + x + 1} \right)}^3}}}} \right] = 0$