Phương pháp hồi quy tuyến tính giải hệ phương trình

PHƯƠNG PHÁP HỒI QUY TUYẾN TÍNH GIẢI HỆ DẠNG 1

VÕ TRỌNG TRÍ

Phương pháp hppồi quy tuyến tính là biến đổi đại số hệ về dạng 1 phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by + c = 0$, từ đó ta giải hệ dễ dàng bằng pp thế.

Xét hệ: $\left\{ \begin{array}{l}

f\left( {x,y} \right) = 0\\

\sqrt {g\left( {x,y} \right)}  + \sqrt[3]{{h\left( {x,y} \right)}} = k

\end{array} \right.$                                                     

Để khử căn ở pt2, ta biến đổi các biểu căn về dạng

$\begin{array}{l}

\sqrt {g\left( {x,y} \right)}  = \sqrt {g\left( {x,y} \right) + m.f\left( {x,y} \right)}  = ax + b + c\left( * \right)\\

\sqrt[3]{{h\left( {x,y} \right)}} = \sqrt[3]{{h\left( {x,y} \right) + n.f\left( {x,y} \right)}} = ax + by + c

\end{array}$

Nhiệm vụ của ta bây giờ là tìm hệ số a, b, c và biểu thức m, n

Tìm a, b, c: chỉ cần chọn ra 3 cặp $\left( {{x_1};{y_1}} \right),\left( {{x_2};{y_2}} \right),\left( {{x_3};{y_3}} \right)$ thỏa mãn pt1 $f\left( {x;y} \right) = 0$ thay vào (*) ta sẽ được hệ bậc nhất ba ẩn ( ẩn là a, b, c). Ta làm theo các bước:

Bước 1. Để tìm 3 cặp này ta nhẩm, hoặc dùng máy tính dò ( soạn f(x;y) và cho y dễ nhớ, SOLVE tìm x lưu vào biến nhớ A, B, C ).

Bước 2: Để nhập các cặp (x;y) trên vào giải hệ, ta tính trước  biểu thức $\sqrt {g\left( {{x_1};{y_1}} \right)} ,\sqrt {g\left( {{x_2};{y_2}} \right)} ,\sqrt {g\left( {{x_3};{y_3}} \right)}$ bằng cách soạn biểu thức $\sqrt {g\left( {x;y} \right)}$, dùng CACL với x là A, y là giá trị ta cho ở trên ( phải nhớ ) sau đó lưu vào biến nhớ D, E, F

Bước 3: Vào MODE5;2 , để giải hệ , nhớ nhập các giá trị $${\bf{l\`a }}{\rm{ }}\left( {{\bf{A}};{{\bf{y}}_1};{\bf{1}};{\bf{D}}} \right){\rm{ }}\left( {{\bf{B}};{{\bf{y}}_1};{\bf{1}};{\bf{E}}} \right);{\rm{ }}\left( {{\bf{C}};{{\bf{y}}_1};{\bf{1}};{\bf{F}}} \right)$$

Nghiệm (x,y,z ) của máy chính là a,b,c của ta cần tìm.  ( nếu nghiệm hữu tỉ là quy hồi được )

Bước 4: Khi tìm được a,b,c thì tìm biểu thức m trong (*) đơn giản

Từ (*) ta rút ra dễ dàng $m = \frac{{{{\left( {ax + by + c} \right)}^2} - g\left( {x,y} \right)}}{{f\left( {x,y} \right)}}$, ta dùng kĩ thuật chia đa thức hai biến bình thường ($x = 100,y = \frac{1}{{100}}$)

Trình bày lời giải vào giấy thi :

Ta có $\sqrt {g\left( {x,y} \right)}  = \sqrt {g\left( {x;y} \right) + m.f\left( {x;y} \right)}  = ax + by + c$

Dạng 1

 Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}

2\sqrt[3]{{ - 11{x^2}y - 2x{y^2} + 16x - 2y}} + \sqrt[3]{{ - {x^2}y + 6{x^2} + 14y - 20}} = 1\\

{x^3} + x{y^2} - {x^2} - {y^2} - 2x + 2 = 0

\end{array} \right.$

Phân tích: ta thử xem pt2 có nhân tử không ?

Soạn: ${x^3} + x{y^2} - {x^2} - {y^2} - 2x + 2$( gọi là P ), SOLVE ( shift cacl ) cho y=1000, x=0 dò ra x=1

Tiếp tục cho y=10, x=0 dò ra x=1 => pt này có nhân tử cố định $\left( {x - 1} \right)$

Dễ dàng phân tích ra được $pt2 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

x = 1\\

{x^2} + {y^2} = 2

\end{array} \right.$

TH x=1 giải ngon rồi$Q = \sqrt[3]{{ - 11{x^2}y - 2x{y^2} + 16x - 2y}}$

TH: ${x^2} + {y^2} = 2$, ta xem thử các biểu thức trong căn bậc 3 đó có đưa về dạng lập phương hay không ? tức có dạng ${\left( {ax + by + c} \right)^3}$, tuy nhiên việc đó phải nhờ phép thế ${x^2} + {y^2} = 2$vào biểu thức đó.

Muốn vậy: ta cần tìm 3 cặp là thỏa mãn ${x^2} + {y^2} = 2$ thế vào biểu thức trong căn bậc 3.

-Soạn biểu thức , tính giá trị biểu thức đó ( bấm CACL ) với các cặp $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( {0;\sqrt 2 } \right),\left( {\sqrt 2 ;0} \right)$ ta được KQ: 1; -1,1442...; 2,824... lưu vào  A, B, C nhé ( STO A,B,C)

-Bấm mode5, 2,vào hệ pt bậc nhất ba ẩn, lần lượt nhập 3 dòng là 1,1,1,A|0,$\sqrt 2$,1,B|$\sqrt 2$,0,1,C

Ra KQ là 2;-1;0 . Vậy ta kết luận $Q = \sqrt[3]{{ - 11{x^2}y - 2x{y^2} + 16x - 2y}} = 2x - y$

-Soạn biểu thức và làm tương tự ta được $E = \sqrt[3]{{ - {x^2}y + 6{x^2} + 14y - 20}} = y - 2$

Vậy TH ${x^2} + {y^2} = 2$, hệ tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}

2\left( {2x - y} \right) + \left( {y - 2} \right) = 1\\

{x^2} + {y^2} = 2

\end{array} \right.$

Tóm lại hệ có các nghiệm $\left( {x = 1;y = 1} \right),\left( {x = \frac{7}{{17}};y = \frac{{23}}{{17}}} \right)$

Như vậy thế ${x^2} + {y^2} = 2$vào chỗ nào đó của $Q = \sqrt[3]{{ - 11{x^2}y - 2x{y^2} + 16x - 2y}}$ để có $Q = 2x - y$

Việc đó rất đơn giản , ta chỉ cần rút gọn hiệu:

 +Soạn      $$\frac{{\left( { - 11{x^2}y - 2x{y^2} + 16x - 2y} \right) - {{\left( {2x - y} \right)}^3}}}{{{x^2} + {y^2} - 2}}$$ , CACL với $x = 100;y = \frac{1}{{100}}$ được KQ \[\begin{array}{l}

 - \frac{{79999}}{{100}} =  - \frac{{80000 - 1}}{{100}} =  - 800 + \frac{1}{{100}} =  - 8x + y\\

 \Rightarrow \frac{{\left( { - 11{x^2}y - 2x{y^2} + 16x - 2y} \right) - {{\left( {2x - y} \right)}^3}}}{{{x^2} + {y^2} - 2}} = y - 8x

\end{array}\]

+  Tương tự   $\frac{{ - {x^2}y + 6{x^2} + 14y - 20 - {{\left( {y - 2} \right)}^3}}}{{{x^2} + {y^2} - 2}} = 6 - y$

Trình bày TH2: $\begin{array}{l}

\left\{ \begin{array}{l}

2\sqrt[3]{{ - 11{x^2}y - 2x{y^2} + 16x - 2y}} + \sqrt[3]{{ - {x^2}y + 6{x^2} + 14y - 20}} = 1\\

{x^2} + {y^2} = 2

\end{array} \right. \Leftrightarrow \\

\left\{ \begin{array}{l}

2\sqrt[3]{{ - 11{x^2}y - 2x{y^2} + 16x - 2y - \left( {8x - y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - 2} \right)}} + \sqrt[3]{{ - {x^2}y + 6{x^2} + 14y - 20 - \left( {y - 6} \right)\left( {2 - {x^2} - {y^2}} \right)}} = 1\\

{x^2} + {y^2} = 2

\end{array} \right.\\

 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

2\sqrt[3]{{{{\left( {2x - y} \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {y - 2} \right)}^3}}} = 1\\

{x^2} + {y^2} = 2

\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

2\left( {2x - y} \right) + y - 2 = 1\\

{x^2} + {y^2} = 2

\end{array} \right.

\end{array}$

Bài tập tương tự

$\left\{ \begin{array}{l}

\sqrt[3]{{xy\left( {x - 2y} \right) + 9{x^2} - 31x + 27}} + \sqrt { - {x^2} + 5{y^2} + 2x + 2y + 9}  = 5\\

8{x^2} - 32 = 4y\left( {\sqrt {9{x^2} - 32}  + x} \right)

\end{array} \right.$

Dạng 2

Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}

x + y + \sqrt {\frac{{{y^2} + xy + 1}}{{2x + y}} + 3}  = 4\\

 - 18{x^3} - 21{x^2}y + 24{x^2} - 8x{y^2} + 21xy - 2x - {y^3} + 5{y^2} - y - 1 = 0

\end{array} \right.$

Mực  đích khử căn : $\begin{array}{l}

\sqrt {\frac{{{y^2} + xy + 1}}{{2x + y}} + 3}  = \sqrt {\frac{{{y^2} + xy + 6x + 3y + 1}}{{2x + y}}} \\

 = \sqrt {\frac{{{y^2} + xy + 6x + 3y + 1 + m\left( { - 18{x^3} - 21{x^2}y + 24{x^2} - 8x{y^2} + 21xy - 2x - {y^3} + 5{y^2} - y - 1} \right)}}{{2x + y}}}  = ax + by + c

\end{array}$

Bấm máy ta được  $A = 3x + y - 2$, hệ đã quy hồi tuyến tính

Lời giải chính thức

Ta có hệ tương đương

$\left\{ \begin{array}{l}

x + y + \sqrt {\frac{{{y^2} + xy + 1}}{{2x + y}} + 3}  = 4\\

{y^2} + xy + 1 + 6x + 3y = \left( {2x + y} \right){\left( {3x + y - 2} \right)^2}

\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

x + y + \left| {3x + y - 2} \right| = 4\\

{y^2} + xy + 1 + 6x + 3y = \left( {2x + y} \right){\left( {3x + y - 2} \right)^2}

\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

x = 1\\

y = 1

\end{array} \right.$Bài tập tương tự : $\left\{ \begin{array}{l}

\left( {2x + y - 1} \right)\sqrt {x + y}  = \sqrt {{x^2} + {y^2} + 3xy + x + 2} \\

2x + y - {y^2} = \sqrt {{y^4} + 2{y^3} + 5{y^2} + 4y - 8}

\end{array} \right.$

Dạng 3

$\left\{ \begin{array}{l}

\sqrt {x + y + 1}  + \sqrt {2x + y - 3}  = \sqrt {7x + y} \left( 1 \right)\\

\sqrt {31{x^2} + 5x + 13}  + \sqrt {31{y^2} - 58y - 7}  = 8

\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}

\left( 1 \right) \Rightarrow {\left[ {\left( {7x + y} \right) - \left( {x + y + 1} \right) - \left( {2x + y - 3} \right)} \right]^2} - 4\left( {x + y + 1} \right)\left( {2x + y - 3} \right) = 0\\

 \Leftrightarrow 8{x^2} - 20xy - 3{y^2} + 20x + 4y + 16 = 0\left( 3 \right)

\end{array}$

Vậy ta có hệ mới: $\left\{ \begin{array}{l}

8{x^2} - 20xy - 3{y^2} + 20x + 4y + 16 = 0\\

\sqrt {31{x^2} + 5x + 13}  + \sqrt {31{y^2} - 58y - 7}  = 8

\end{array} \right.$

Dùng pp hồi quy ta đươc: $\left\{ \begin{array}{l}

8{x^2} - 20xy - 3{y^2} + 20x + 4y + 16 = 0\\

\left| {4x - 5y + 5} \right| + \left| {\frac{{3y}}{2} + \frac{{15x}}{2} - \frac{3}{2}} \right| = 8

\end{array} \right.$

Luyện tập: \[\left\{ \begin{array}{l}

\sqrt {2x - y}  + \sqrt {x + 3{y^2}}  = 3\\

{y^2} + \frac{y}{6} - 2\sqrt {6{y^2} + y + 18}  + \frac{{53}}{6}x = 0

\end{array} \right.\]

Các bạn đón chờ các dạng mới nhé !

Vào youtube để học mỗi ngày https://www.youtube.com/channel/UCpslqfe8tEKUXADFN-oIYsA

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG


 Bài 72: Cho tam giác nhọn ABC, BE và CD là hai phân giác trong góc B và góc C. Cho biết $B\left( {1; - 2} \right),D\left( {\frac{{21}}{{11}};3} \right)$, điểm E có hoành độ lớn hơn 5 và$DE = \frac{{25\sqrt {55} }}{{11}}$, đường thẳng AC có hệ số góc $k =  - \frac{1}{2}$. Tìm tọa độ điểm A và C. 
 Xem VIDEO chữa tại đây