Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán Sinh viên năm 2013 của Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán Sinh viên năm 2013 của Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Môn thi Đại số, Thời gian 150 phút
Định nghĩa và kí hiệu.
$\mathrm{tr}(B)$ là vết của ma trận vuông $B$, được định nghĩa bằng tổng các phần tử trên đường chéo chính của $B$.
$M_n(\mathbb{R}) = \big\{ (a_{ij})_{n \times n} \mid a_{ij} \in \mathbb{R} \big\}, \ M_n(\mathbb{Q}) = \big\{ (a_{ij})_{n \times n} \mid a_{ij} \in \mathbb{Q} \big\}$.
Giả sử $A=(a_{ij})_{n \times n}$. Ma trận phụ hợp phức $A^* = (a^*_{ij})_{n \times n}$ của $A$ được định nghĩa như sau : $a^*_{ij} = \overline{a_{ji}}$.
Ma trận $A$ được gọi là unita nếu $AA^* = A^*A = E$.

Bài 1. Cho ánh xạ tuyến tính
$$f : M_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}.$$
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một ma trận $C$ sao cho $f(A) = \mathrm{tr}(AC)$.
Nếu thêm giả thiết $f(AB)=f(BA)$ với mọi $A,B$ thì tồn tại $\alpha \in \mathbb{R}$ sao cho $f(A) = \alpha \, \mathrm{tr}(A)$.

Bài 2. Tìm tất cả các ma trận vuông $A$ cấp $n$ sao cho ma trận
$$\begin{pmatrix} I_n & A \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$$
là một ma trận chéo hóa được. Ở đây $I_n$ là ma trận đơn vị cấp $n$.

Bài 3. Cho $x_i,y_i, 1 \le i \le n$ là các số phức với $x_iy_j \ne 1$ với mọi cặp $i,j$. Tính định thức $D_n$ của ma trận $M=(m_{i,j})_{n \times n}$, trong đó
$$m_{i,j} = \frac{1}{1-x_iy_j}.$$

Bài 4. Giả sử $A$ và $B$ là hai ma trận unita cỡ $n \times n$ với hệ số phức. Chứng minh rằng
$$|\det(A+B)| \le 2^n.$$

Bài 5.
Cho $A \in M_3(\mathbb{Q})$ là một ma trận thỏa mãn điều kiện $A^5=E$. Chứng minh rằng $A=E$.
Cho $A \in M_4(\mathbb{Q})$ là một ma trận thỏa mãn điều kiện $A^5=E$. Kết luận $A=E$ còn đúng hay không? Tại sao?

Bài 6. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn
$$P(x)P(x+1)=P(x^2), \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$

Môn thi Giải tích, Thời gian 120 phút
Bài 1. Tính giới hạn sau :
$$\lim_{x \to 0^+} \int_x^{2x} \frac{\sin(2t)}{t^n} \, \mathrm{d}t, \quad n \in \mathbb{N}.$$
Bài 2. Cho $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là hàm số liên tục. Giả sử tồn tại một hàm khả vi $\varphi(x)$ sao cho
$$\varphi'(x) = g\big( \varphi(x) \big), \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$
Chứng minh rằng nếu $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \varphi(x)=b$ thì $g(b)=0$.

Bài 3. Cho hai dãy số thực $\{x_n\}_0^\infty$ và $\{y_n\}_0^\infty$ thỏa mãn các điều kiện sau :
$\displaystyle x_{n+1} \ge x_n, \forall n=0,1,2,\ldots; \ x_0=0; \ \lim_{n \to \infty} x_n=+\infty$.
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n=1$.
Chứng minh rằng
$$\lim_{N \to +\infty} \frac{\sum\limits_{n=1}^N (x_n-x_{n-1}) y_n}{x_N}=1.$$

Bài 4. Cho hàm số $f : (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau :
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \big[ f(x+1)-f(x) \big] = +\infty$.
$f$ bị chặn trên mọi khoảng con hữu hạn chứa trong $(0,+\infty)$.
Chứng minh rằng
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty.$$

Bài 5. Cho đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với các hệ số $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ và $a \ne 0$. Giả sử tồn tại vô số các cặp số nguyên $(x,y)$ với $x \ne y$ sao cho $xP(x)=yP(y)$. Chứng minh rằng phương trình $P(x)=0$ có nghiệm nguyên.